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2.2.2 Die Coulombkraft

Da die Differenzgeschwindigkeit $\vec{v}$ zwischen Quelle und Empfänger in der Alltagsphysik immer sehr viel kleiner ist als $c$, lohnt es sich, diesen Spezialfall gesondert zu betrachten und die Integrale (2.2.1.12) im Quantinodruck (2.2.1.8) durch abgebrochene Taylorreihen anzunähern.

Da es sich bei $\vec{v}$ um einen Vektor handelt, bedient man sich dazu am besten eines Kunstgriffs, indem man anstelle von $\vec{v}$ den Vektor $\kappa\,\vec{v}$ einsetzt. Die eigentliche Reihenentwicklung wird dann in Bezug auf den skalaren Parameter $\kappa$ an der Stelle $0$ durchgeführt. Vernachlässigt man nun alle Terme der Ordnung $\mathcal{O}\{\kappa^3\}$ und höher, so entfernt man automatisch auch alle Terme, bei denen mehr als zwei Geschwindigkeitskomponenten multiplikativ verknüpft sind. Zum Abschluss setzt man $\kappa$ zu Eins und erhält
$$\mathcal{I}_k \approx \frac{c^k}{r^2} \left(\frac{c^2}{k+2} + \frac{(k-1)\,c}{k + 1} \left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right) + \frac{k-2}{2}\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right)^2 - \frac{k - 2}{2\,k} v^2\right),$$ (2.2.2.1)
d.h. der Quantinodruck (2.2.1.8) lautet für Geschwindigkeiten $v \ll c$
$$\begin{eqnarray}\vec{\mathcal{P}}_e(\vec{r},\vec{v}) & \approx & \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \,\frac{\Gamma_k\,c^k}{r^2} \left(\frac{c^2}{k+2} + \frac{(k-1)\,c}{k + 1} \left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right) \right. \\ & + & \left. \frac{k-2}{2}\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right)^2 - \frac{k - 2}{2\,k} v^2\right).\end{eqnarray}$$ (2.2.2.2)

Am Anfang dieses Kapitels wurde bereits vorweggenommen, dass der Quantinodruck direkt proportional zur elektromagnetischen Kraft $\vec{F}$ ist. Um von diesem "Druck" mit der Einheit Kraft pro Fläche zu einer Kraft zu kommen, ist es naheliegend, ihn mit dem Wirkungsquerschnitt der Empfänger-Elementarladung $\sigma_e$ zu multiplizieren, die eine Ladung aufgrund der Postulate der Quantinotheorie haben muss. Möchte man die resultierende Formel noch auf beliebige Ladungsmengen verallgemeinern, muss man zusätzlich noch mit der relativen Ladung der Quelle $q_s/e$ und der relativen Ladung des Empfängers $q_d/e$ multiplizieren, da jede Elementarladung der Quelle auf jede Elementarladung des Empfängers separat wirkt. Es folgt
$$\vec{F}(\vec{r},\vec{v}) = \frac{\sigma_e\,q_d\,q_s}{e^2}\,\vec{\mathcal{P}}_e(\vec{r},\vec{v}).$$ (2.2.2.3)
Das diese Formel tatsächlich in der Lage ist, die gesamte elektromagnetische Kraft korrekt zu beschreiben, soll in diesem und im nächsten Abschnitt bewiesen werden.

Zu diesem Zweck wird in Gleichung (2.2.2.3) die Differenzgeschwindigkeit $\vec{v}$ zunächst auf Null gesetzt. Man erhält
$$\vec{F}(\vec{r}) = \frac{q_d\,q_s\,\sigma_e\,a_c\,\mathcal{m}_{pho}\,c^2}{8\,\pi\,e^2}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \,\Gamma_k\,\frac{c^k}{k+2}.$$ (2.2.2.4)
Ein Vergleich mit dem Coulombgesetz
$$\vec{F}(\vec{r}) = \frac{q_d\,q_s}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{\vec{r}}{r^3} = \frac{q_d\,q_s\,c^2\,\mu_0}{4\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}$$ (2.2.2.5)
zeigt, dass sich bei geeigneter Wahl der Parameter $\Gamma_k$ eine vollständige Übereinstimmung erreichen lässt. Die zu erfüllende Gleichung lautet
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} \,\Gamma_k\,\frac{c^k}{k+2} = 2\,\mu_h,$$ (2.2.2.6)
wobei die zum Teil unbekannten Naturkonstanten in
$$\mu_h := \frac{e^2\,\mu_0}{a_c\,\mathcal{m}_{pho}\,\sigma_e}$$ (2.2.2.7)
untergebracht wurden.