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6.8 Newtonsche Gesetze und Trägheit

Die Tatsache, dass sich die schwere Masse als Effekt der elektrischen Kraft erklären lässt, führt automatisch zu der Frage, wodurch die träge Masse entsteht und weshalb diese - zumindest bei normaler, ungeladener und langsamer Materie - zur schweren Masse äquivalent ist. Es wird dem Leser sicher bereits aufgefallen sein, dass eine Einheitsladung, sofern sie beschleunigt wird, mit ihren selbst emittierten Quantinos in Wechselwirkung treten muss.

Abbildung 6.8.1: Die Quelle emittiert mit gleichbleibender Rate Quantinos. Da die Quelle beschleunigt wird, holt sie ihre eigenen Quantinos wieder ein. Es entsteht eine Selbstwechselwirkung, also eine Kraft, die der Beschleunigung entgegengerichtet ist.
Die Abbildung 6.8.1 verdeutlicht das. Wie zu erkennen ist, ändert eine Beschleunigung der Einheitsladung die relative Geschwindigkeit zu zuvor ausgesendeten Quantinos. Dieses führt dazu, dass der Einheitsladung ein kleiner Teil der ausgesendeten Quantinos wieder entgegen kommt und schließlich sogar reabsorbiert wird. Da allerdings jedes Absorbieren eines Quantinos mit einer Kraftwirkung verbunden ist, muss demzufolge auf eine beschleunigte elektrische Einheitsladung eine Kraft wirken. Weiterhin ist klar, dass diese Kraft der Beschleunigungsrichtung genau entgegengesetzt gerichtet ist, da die reabsorbierten Quantinos einerseits immer das gleiche Vorzeichen haben, wie die Einheitsladung selbst und anderseits genau aus der Richtung zu kommen scheinen, in die beschleunigt wird.

Es lässt sich also folgendes festhalten: Jede beschleunigte Einheitsladung erfährt eine Kraft, die der Beschleunigung genau entgegen gerichtet ist. Diese Überlegung soll nun mathematisch untersucht werden. Im Anschluss wird das zweite newtonsche Axiom hergeleitet, welches eine vergleichbare Aussage für Massen macht.

Dass die Trägheit auf die elektrische Kraft zurückgeführt werden könnte, wurde im Übrigen bereits vor mehr als einhundert Jahren vermutet und vor allem von Max Abraham untersucht. Da dieser aber noch mit den Maxwell-Gleichungen arbeiten musste und noch nicht über den Begriff des Quantinodruckes verfügte, blieben die Versuche letztendlich erfolglos.

6.8.1 Der Quantinoeigendruck

Bei der Selbstwechselwirkung ist die Quelle und der Empfänger der Quantinos identisch und es gilt $\vec{r}_s(t) = \vec{r}_d(t) := \vec{r}(t)$. Der Einfachheit halber wird im Nachfolgenden davon ausgegangen, dass die Bewegungsrichtung der Einheitsladung immer parallel zum Einheitsvektor $\vec{e}_r$ ist. Es gilt dann $\vec{r}(t) = \vec{e}_r\,r(t)$.

Damit folgt aus Formel (6.1.1), dass sich das Zentrum eines zum Zeitpunkt $\tau$ emittierten Quantinoringes zum Zeitpunkt $t$ am Ort
$$r_c(t,\tau) = \vec{e}_r\,r(\tau) + \vec{e}_r\,\dot{r}(\tau)(t-\tau).$$ (6.8.1.1)
befindet. Einsetzen in die Gleichung des Energievektors (6.3.7) ergibt
$$\vec{\mathcal{E}}_e = \vec{e}_r\,E_e\,\frac{r(t)-r_c(t,\tau)}{\vert r(t)-r_c(t,\tau)\vert}\,\sgn\left((r(t)-r_c(t,\tau))\cdot\left(\frac{r(t)-r(\tau)}{t-\tau}-\dot{r}(t)\right)\right).$$ (6.8.1.2)
Wegen Gleichung (6.3.6) und wegen der mathematischen Äquivalenzen $\sgn(a \cdot b) = \sgn(a)\cdot\sgn(b)$ und $1/\vert a\vert\cdot\sgn(a) = 1/a$ ist dieses jedoch gleich
$$\vec{\mathcal{E}}_e = \vec{e}_r\,\frac{1}{2}\mathcal{m}_{pho}\,\left(\overline{v}(t,\tau)-v(t)\right)^2\,\sgn\left(\overline{v}(t,\tau)-v(t)\right),$$ (6.8.1.3)
wobei
$$v(t) = \dot{r}(t)$$ (6.8.1.4)
die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ und
$$\overline{v}(t,\tau) = \frac{1}{t-\tau} \int\limits_{\tau}^{t} v(T)\,\d{T} = \frac{r(t)-r(\tau)}{t-\tau}$$ (6.8.1.5)
die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall von $\tau$ bis $t$ ist.

Für die Berechnung des Quantinodruckes (6.3.8) ist es erforderlich, die Quantinodichte zu berechnen. Nach Formel (6.1.3) gilt unter Verwendung der Formeln (6.8.1.1), (6.8.1.3), (6.8.1.5) und (6.8.1.4)
$$p_{\tau}(\vec{r}_d(t),w,t,\tau) = \frac{a_c}{4\,\pi} \Gamma(w) \frac{ \delta\left((t-\tau)\left(\vert\overline{v}(t,\tau) - v(\tau)\vert - w\right)\right)}{\left\vert\overline{v}(t,\tau) - v(\tau)\right\vert^2\,(t-\tau)^2}.$$ (6.8.1.6)
Würde man die nachfolgenden Berechnungen mit diesem Ausdruck durchführen, so erhielte man letztlich eine Formel, bei der die Kraft proportional zum Quadrat der Beschleunigung ist. Dieser offensichtliche Widerspruch lässt sich auflösen, indem man sich überlegt, dass die Quantinodichte in unmittelbarer Nähe der emittierenden Einheitsladung $q$ nicht zwangsläufig mit dem Quadrat des Abstandes $r = \left\vert\overline{v}(t,\tau) - v(\tau)\right\vert\,(t-\tau)$ abnehmen muss. Es könnte stattdessen auch ein Zusammenhang der Form
$$p_{\tau}\cdot\left(1-\exp\left(-\frac{r}{(\vert q\vert/e)\,R_e}\right)\right) \approx p_{\tau}\cdot\frac{e\,r}{\vert q\vert\,R_e}$$ (6.8.1.7)
gelten, wobei $R_e$ ein unbekannter Modellparameter ist.

Die Grundidee hinter dieser ad-hoc-Hypothese (6.8.1.7) besteht darin, dass eine Quantino-emittierende Einheitsladung niemals vollständig ruht, sondern aufgrund der Impulserhaltung bei jeder Emission eines Quantinos einen Rückstoß erfährt. Durch diesen Rückstoß wird die Einheitsladung in ihrer eigenes Quantinofeld gedrückt, was wiederum zu Impulsänderungen führt. Die Einheitsladung wird daher permanente Zitterbewegungen ausführen und langsame Quantinos aus ihrer Umgebung absaugen. Der Wirkungsbereich dieses Effektes sollte proportional zum Wirkungsradius $R_e$ sein. Formel (6.8.1.7) bringt dieses modellhaft zum Ausdruck.

Mit der Hypothese (6.8.1.7) folgt für die Quantinodichte der nur für sehr kurze Abstände geltende Zusammenhang
$$\tilde{p}_{\tau}(\vec{r}_d(t),w,t,\tau) = \frac{a_c\,e}{4\,\pi\,\vert q\vert\,R_e} \Gamma(w) \frac{ \delta\left((t-\tau)\left(\vert\overline{v}(t,\tau) - v(\tau)\vert - w\right)\right)}{\left\vert\overline{v}(t,\tau) - v(\tau)\right\vert\,(t-\tau)}.$$ (6.8.1.8)
Setzt man dieses in die Formel des Quantinodruckes (6.3.8) ein, so erhält man unter Verwendung der Gleichung (6.8.1.3) und nach Ausführung der Integration bezüglich $w$ die Beziehung
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \vec{e}_r\,\mathcal{m}_{pho}\,\frac{a_c\,e}{8\,\pi\,\vert q\vert\,R_e}\int\limits_{-\infty}^{t} \intfunc_0^c\left(\vert\overline{v}(t,\tau)-v(t)\vert\right)\frac{\Gamma\left(\vert\overline{v}(t,\tau) - v(\tau)\vert\right)\left(\overline{v}(t,\tau)-v(t)\right)}{(t-\tau)^{2}}\d{\tau}.$$ (6.8.1.9)

Das komplizierte Integral (6.8.1.9) lässt sich näherungsweise lösen, indem man sich überlegt, dass für Zeiten $t$, die nur wenig größer sind als $\tau$ der Zusammenhang
$$\overline{v}(t,\tau) \approx \frac{1}{2}\left(v(t)+v(\tau)\right)$$ (6.8.1.10)
besteht. Daraus folgt dann
$$\overline{v}(t,\tau) - v(t) \approx -\frac{1}{2}\,\frac{v(t)-v(\tau)}{t-\tau}\,(t-\tau) \approx -\frac{1}{2}\,a(t)\,(t-\tau)$$ (6.8.1.11)
und
$$\overline{v}(t,\tau) - v(\tau) \approx \frac{1}{2}\,\frac{v(t)-v(\tau)}{t-\tau}\,(t-\tau) \approx \frac{1}{2}\,a(t)\,(t-\tau)$$ (6.8.1.12)
mit der Beschleunigung $a(t) = \dot{v}(t)$. Damit gilt dann näherungsweise
$$\begin{eqnarray}\vec{\mathcal{P}}_e & \approx & -\vec{e}_r\,\mathcal{m}_{pho}\,\frac{a_c\,e}{8\,\pi\,\vert q\vert\,R_e}\,\int\limits_{-\infty}^{t} \,\intfunc_0^c\left(\left\vert \frac{1}{2}\,a(t)\,(t-\tau) \right\vert\right)\,\cdot \\ & & \frac{\Gamma\left(\left\vert \frac{1}{2}\,a(t)\,(t-\tau) \right\vert\right)\,\left(\frac{1}{2}\,a(t)\,(t-\tau)\right)}{(t-\tau)^{2}}\,\d{\tau}.\end{eqnarray}$$ (6.8.1.13)
Substituiert man nun noch $1/2\,\vert a(t)\vert\,(t-\tau)$ mit $u$, so erhält man
$$\vec{\mathcal{P}}_e \approx -\vec{e}_r\,\mathcal{m}_{pho}\,\frac{a_c\,e}{8\,\pi\,\vert q\vert\,R_e}\,\int\limits_{\infty}^{0} \,\intfunc_0^c\left(u\right)\,\frac{\Gamma\left(u\right)\,u}{\left(\frac{4\,u^2}{a(t)^2}\right)}\,\left(-\frac{2}{\vert a(t)\vert}\right)\d{\tau},$$ (6.8.1.14)
was zusammengefasst
$$\vec{\mathcal{P}}_e \approx -\vec{e}_r\,\frac{\mathcal{m}_{pho}\,a_c\,e\,\Gamma_s}{16\,\pi\,\vert q\vert\,R_e}\,a(t)$$ (6.8.1.15)
mit
$$\Gamma_s := \int\limits_{0}^{c}\,\frac{\Gamma\left(u\right)}{u}\,\d{u}$$ (6.8.1.16)
ergibt.

Zum Abschluss wird noch die Formel (6.4.2.3) verwendet, welche den Quantinodruck mit der Kraft in Beziehung setzt. Hierbei gilt natürlich $q_d = q_s = q$. Man erhält die Eigenkraft
$$\vec{F}_i \approx -\vec{e}_r\,\frac{\mathcal{m}_{pho}\,a_c\,\Gamma_s\,\sigma_e}{16\,\pi\,e\,R_e}\,\vert q\vert \cdot a(t),$$ (6.8.1.17)
d.h. die Kraft, die eine Ladung $q$ auf sich selbst ausübt, wenn sie mit $a(t)$ beschleunigt wird.

Wie zu sehen ist, ist die Eigenkraft $F_i$ der Beschleunigung $a$ grundsätzlich entgegen gerichtet. Eine Beschleunigung entsteht aber immer durch die Wirkung einer äußeren Kraft $F_e$. Es wird nun angenommen, dass jede äußere Kraft für sich allein genommen zu einer praktisch unendlich großen Beschleunigung führen würde. Mathematisch lässt sich das durch die Gleichung
$$a = \lim\limits_{\epsilon\to 0}\,\frac{1}{\epsilon}F_e$$ (6.8.1.18)
modellieren. Da der äußeren Kraft $F_e$ jedoch die zur Beschleunigung $a$ proportionale Eigenkraft $F_i$ entgegenwirkt, gilt letztlich
$$a = \lim\limits_{\epsilon\to 0}\,\frac{1}{\epsilon}(F_e + F_i) = \lim\limits_{\epsilon\to 0}\,\frac{1}{\epsilon}\left(F_e - \frac{\mathcal{m}_{pho}\,a_c\,\Gamma_s\,\sigma_e}{16\,\pi\,e\,R_e}\,\vert q\vert\,a\right).$$ (6.8.1.19)
Multipliziert man beide Seiten mit $\epsilon$ so erhält man
$$\lim\limits_{\epsilon\to 0}\,\epsilon\,a = \left(F_e - \frac{\mathcal{m}_{pho}\,a_c\,\Gamma_s\,\sigma_e}{16\,\pi\,e\,R_e}\,\vert q\vert\,a\right).$$ (6.8.1.20)
Da die linke Seite Null ergibt, folgt schließlich
$$F_e = \frac{\mathcal{m}_{pho}\,a_c\,\Gamma_s\,\sigma_e}{16\,\pi\,e\,R_e}\,\vert q\vert\,a,$$ (6.8.1.21)
d.h. die resultierende Beschleunigung ist endlich und zur äußeren Kraft proportional.

Die Gleichung (6.8.1.21) ähnelt dem zweiten newtonschen Gesetz bereits sehr deutlich. Anstelle der Masse befindet sich jedoch eine Proportionalitätskonstante, die mit einer Ladungsmenge $\vert q\vert$ multipliziert wird. Es ist äußerst wichtig darauf hinzuweisen, dass in Gleichung (6.8.1.21) an keiner Stelle eine schwere Masse auftritt und sie daher sogar für masselose, aber geladene Elementarteilchen gelten würde!

6.8.2 Das zweite newtonsche Gesetz

Im Abschnitt 6.7 wurde gezeigt, dass der Effekt, der als die Gravitation bekannt ist, lediglich eine Restwechselwirkung der elektrischen Kraft darstellt. Aufgrund eines Unterschiedes in der Varianz der Geschwindigkeitsverteilung zweier nicht ganz gleich großer Ladungsmengen erscheint das gesamte Objekt nach außen hin elektrisch neutral. Wegen dieser scheinbaren elektrischen Neutralität üben solche Objekte keine Kraft auf elektrische Ladungen aus. Zwei gleichartige Objekte ziehen sich aber an und es erscheint so, als ob sie über eine von der elektrischen Ladung unabhängigen Eigenschaft, nämlich die schwere Masse, verfügen würden. In diesem Abschnitt geht es darum zu untersuchen, ob und wie sich das Ergebnis des Abschnittes 6.8 auf Objekte übertragen lässt, die über eine schwere Masse verfügen.

Ausgangspunkt ist dabei die Formel (6.8.1.21), welche zunächst einmal nur für einzelne Ladungen definiert ist. Würde man nun eine positive und eine gleich große negative Ladung so dicht aneinanderbringen, dass sich ihre Wirkungsquerschnitte überschneiden, so würden sie sich vollständig kompensieren und hätten weder schwere noch träge Masse, da sich die Wirkung aller Quantinos gegenseitig aufhebt. Es liegt daher nahe zu vermuten, dass die Einheitsladungen innerhalb einer schweren Masse weiter voneinander entfernt sind als $R_e$ und somit jede von ihnen näherungsweise unabhängig von den anderen zur trägen Masse beiträgt.

Die Gesamtmenge an Ladung, die in einer schweren Masse $\tilde{m}$ enthalten ist, beträgt $Q$ und ist durch die Definition (6.7.7) gegeben. Weiterhin gilt wegen Gleichung (6.7.13) der Zusammenhang
$$\vert q\vert = Q \approx \frac{4\,c^2\,\tilde{m}\,e}{\left(\sigma_n^2-\sigma_p^2\right)\,m_e}.$$ (6.8.2.1)
Setzt man dieses in die Gleichung (6.8.1.21) ein, so folgt das zweite Newtonsche Gesetz
$$F_e = m\cdot a$$ (6.8.2.2)
sofern man die träge Masse $m$ durch
$$m \approx \frac{\mathcal{m}_{pho}\,a_c\,\Gamma_s\,\sigma_e}{4\,\pi\,m_e\,R_e}\,\frac{c^2}{\sigma_n^2-\sigma_p^2}\,\tilde{m}$$ (6.8.2.3)
mit der schweren Masse verknüpft, wobei $m_e$ wegen des Zusammenhanges (6.7.15) die Gravitationskonstante $G$ enthält. Dabei ist zu beachten, dass die schwere Masse $\tilde{m}$ für Antimaterie negativ ist. Trotzdem gilt auch für Antimaterie das zweite newtonsche Axiom in unveränderter Form, da sich das negative Vorzeichen durch den in diesem Fall negativen Term $\sigma_n^2-\sigma_p^2$ herauskürzt.

Man kann die träge Masse $m$ im Übrigen auch als Funktion der eingeschlossenen Ladungsmenge $Q$ ausdrücken, indem man die Gleichung (6.8.2.1) nach $\tilde{m}$ auflöst und dieses in die Formel (6.8.2.3) einsetzt. Man erhält
$$m \approx \frac{m_{pho}\,a_c\,\Gamma_s\,\sigma_e}{16\,\pi\,e\,R_e}\,Q.$$ (6.8.2.4)

Bis auf die Differenz $\Delta\sigma^2 := \vert\sigma_n^2-\sigma_p^2\vert$ handelt es sich bei allen Parametern des Vorfaktors in Beziehung (6.8.2.3) um Naturkonstanten. Angenommen, $\Delta\sigma^2$ ist für die Standardbausteine der Materie, nämlich für Elektronen, Protonen und Neutronen gleich, so wäre die Äquivalenz von schwerer und träger Masse nur eine Frage der Definition von $G$. Wahrscheinlicher ist jedoch, dass $\Delta\sigma^2$ keine Konstante darstellt. Stattdessen ist es plausibel anzunehmen, dass die Äquivalenz lediglich für Atome gilt. Für alle anderen Sorten von Materie ist die Äquivalenz der beiden Größen nur eine experimentell unbestätigte Hypothese, da man wohl davon ausgehen kann, dass alle bisherigen Experimente zum Nachweis der Äquivalenz zwischen träger und schwerer Masse lediglich mit großen Mengen normaler, neutraler Materie durchgeführt worden sind. Es wäre daher durchaus denkbar, dass bei Elektronen, Protonen und Neutronen die träge Masse $m$ nur in Näherung der schweren Masse $\tilde{m}$ entspricht, da für die Äquivalenz von schwerer und träger Masse lediglich die Gleichung
$$N \cdot \tilde{m}_{Neutron} + Z\cdot \tilde{m}_{Proton} + Z\cdot \tilde{m}_{Elektron} = N \cdot m_{Neutron} + Z\cdot m_{Proton} + Z\cdot m_{Elektron}$$ (6.8.2.5)
für beliebige $N$ und $Z$ erfüllt zu sein braucht, was eine ziemlich schwache Bedingung ist. Der Autor geht jedenfalls davon aus, dass die Äquivalenz zwischen träger und schwerer Masse keine universelle Gültigkeit besitzt; insbesondere bei Photonen, die ganz offensichtlich eine frequenzabhängige träge Masse besitzen.