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6.7 Gravitation und schwere Masse

Abbildung 6.7.1: Wie müssen die beiden Ladungsmengen gewichtet werden, damit das Objekt nach außen hin neutral erscheint?
Die Quantinotheorie lässt sich die Gravitation, wie bereits mehrfach geschrieben wurde, als elektrischer Effekt interpretieren. Aber wie kann aus Ladung Masse entstehen? Der Leser möge sich ein Objekt vorstellen, bei dem sich eine bestimmte Menge elektrisch positiver Einheitsladungen und eine bestimmte Menge elektrisch negativer Einheitsladungen am gleichen Ort aufhält. Beide Ladungsmengen sollen sich dabei in der Art eines Gases oder Plasmas in permanenter Bewegung befinden. Der Mittelwert der Geschwindigkeitsverteilung sei dabei bei beiden Ladungsmengen Null. Die Varianzen $\sigma_p^2$ und $\sigma_n^2$ sollen sich hingegen unterscheiden. Die Fragestellung die hier zunächst untersucht werden wird ist die, ob beide Ladungsmengen gleich groß zu sein haben, damit das Objekt nach außen hin elektrisch neutral ist. Abbildung 6.7.1 verdeutlicht das gedankliche Modell anhand einer Skizze, wobei im dargestellten Fall die Varianz der positiven Ladungsmenge sehr viel kleiner ist, als die der negativen.

Damit ein solches Objekt nach außen hin neutral erscheint, muss die resultierende Kraft auf eine Probeladung $q_d$ verschwinden. Ganz offensichtlich besteht die Gesamtkraft eines dieser Objekte auf eine Probeladung aus zwei Teilkomponenten, nämlich aus
  1. der Kraft der positiven Ladungswolke, sowie
  2. der Kraft der negativen Ladungswolke.
Die Berechnung der Teilkräfte kann, allerdings nur in nichtrelativistischer Näherung, anhand des verallgemeinerten Coulombgesetzes (6.4.3.10) erfolgen. Dazu muss die Kraft einer jeden möglichen Geschwindigkeit entsprechend der Häufigkeitsverteilung gewichtet aufintegriert werden.

Es soll im Weiteren davon ausgegangen werden, dass die Geschwindigkeiten $\vec{u}$ in den Ladungswolken gaußverteilt sind. Weiterhin wird stochastische Unabhängigkeit der Raumrichtungen angenommen. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat die Form
$$p(\vec{u},\sigma) = g(\vec{u},\sigma) = g(u_x,\sigma)\cdot g(u_y,\sigma)\cdot g(u_z,\sigma)$$ (6.7.1)
wobei $g(u,\sigma)$ für die Gaußfunktion
$$g(u,\sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\,\pi\,\sigma^2}}\,\exp\left(-\frac{u^2}{2\,\sigma^2}\right)$$ (6.7.2)
und der Parameter $\sigma^2$ für die Varianz bzw. $\sigma$ für die Standardabweichung steht.

Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung (6.7.1) lässt sich die Formel (6.4.3.10) so verallgemeinern, dass sie auch für Ladungswolken gültig wird. Grundsätzlich gilt für die Kraft $\vec{F}_t(\sigma,q_s,q_d)$ einer Quellladungswolke mit der Gesamtladung $q_s$ und der Geschwindigkeits-Standardabweichung $\sigma$ auf eine am Ort $\vec{r}$ befindliche Zielladung $q_d$ mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ der Zusammenhang
$$\vec{F}_t(\sigma,q_s,q_d) = \iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\,\vec{F}(\vec{r},\vec{u}-\vec{v})\,p(\vec{u},\sigma)\,\d{\vec{u}}.$$ (6.7.3)
Ein Einsetzen der Formeln (6.7.1) und (6.4.3.10) liefert nach Ausführung der Integration die Kraft
$$\vec{F}_t(\sigma,q_s,q_d) = \frac{\mu_0\,q_d\,q_s}{4\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\left((c^2 + v^2) - \frac{3}{2}\left(\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right)^2 - \sigma^2\right)\right)$$ (6.7.4)
einer im zeitlichen Mittel ruhenden Ladungswolke der Gesamtladung $q_s$ und der Geschwindigkeitsvarianz $\sigma^2$ auf eine sich mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ bewegenden Punktladung $q_d$.

Die Gleichung (6.7.4) verdeutlicht, dass ein Modellobjekt wie es in Abbildung 6.7.1 gezeigt ist nicht neutral sein kann, wenn der Betrag der positiven Ladung $q_p$ exakt dem Betrag der negativen Ladung $q_n$ entspricht. Stattdessen muss gelten
$$q_p = \frac{2\,c^2 + 3\,\sigma_n^2}{2\,c^2 + 3\,\sigma_p^2}\,(-q_n),$$ (6.7.5)
denn die Gesamtkraft
$$\frac{\mu_0\,q_d\,q_p}{4\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\left(c^2 + \frac{3}{2}\,\sigma_p^2\right) + \frac{\mu_0\,q_d\,q_n}{4\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\left(c^2 + \frac{3}{2}\,\sigma_n^2\right)\,\stackrel{!}{=}\,0$$ (6.7.6)
auf eine ruhende Probeladung $q_d$ hat zu verschwinden. Und das ist für umgekehrt gleiche große Ladungen nur dann möglich, wenn auch die Varianzen $\sigma_p^2$ und $\sigma_n^2$ gleich groß sind, was aber nach Voraussetzung nicht erfüllt ist.

Definiert man die Gesamtladungsmenge $Q$ durch
$$Q := \vert q_n\vert + \vert q_p\vert = -q_n + q_p,$$ (6.7.7)
so folgen aus Gleichung (6.7.5) die Beziehungen
$$q_n = -\frac{2\,c^2 + 3\,\sigma_p^2}{4\,c^2 + 3\,(\sigma_n^2 + \sigma_p^2)}\,Q$$ (6.7.8)
bzw.
$$q_p = +\frac{2\,c^2 + 3\,\sigma_n^2}{4\,c^2 + 3\,(\sigma_n^2 + \sigma_p^2)}\,Q.$$ (6.7.9)

Abbildung 6.7.2: Gibt es eine Kraft zwischen diesen Objekten, obwohl sie elektrisch neutral sind?
Im Weiteren wird gezeigt, dass sich solche Objekte immer gegenseitig anziehen, obwohl sie von ihrer Wirkung her elektrisch neutral sind. Dazu überlegt man sich zunächst, dass die Gesamtkraft eines dieser Objekte auf ein anderes ähnliches Objekt aus insgesamt vier Teilkomponenten besteht, nämlich
  1. der Kraft $\vec{F}_{pp}$ der positiven Ladungswolke auf die andere positive Ladungswolke,
  2. die Kraft $\vec{F}_{nn}$ der negativen Ladungswolke auf die andere negative Ladungswolke,
  3. die Kraft $\vec{F}_{pn}$ der positiven Ladungswolke auf die negative Ladungswolke und
  4. die Kraft $\vec{F}_{np}$ der negativen Ladungswolke auf die positive Ladungswolke.
Mit Hilfe der Formel (6.7.4) kann jede dieser Teilkräfte angeben werden:
  1. $\vec{F}_{pp} = \vec{F}_t(\sqrt{\sigma_{p1}^2+\sigma_{p2}^2},q_{p1},q_{p2})$
  2. $\vec{F}_{nn} = \vec{F}_t(\sqrt{\sigma_{n1}^2+\sigma_{n2}^2},q_{n1},q_{n2})$
  3. $\vec{F}_{pn} = \vec{F}_t(\sqrt{\sigma_{p1}^2+\sigma_{n2}^2},q_{p1},q_{n2})$
  4. $\vec{F}_{np} = \vec{F}_t(\sqrt{\sigma_{n1}^2+\sigma_{p2}^2},q_{n1},q_{p2})$
Die kombinierten Standardabweichungen sind im Übrigen eine Folge wahrscheinlichkeitstheoretischer Überlegungen. Bei den Geschwindigkeiten zweier Ladungswolken handelt es sich nämlich um zwei jeweils unabhängige Zufallsvariablen, die sich addieren. Das bedeutet, dass sich die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen falten. Da die Faltungsoperation zweier Gaußfunktionen aber wiederum zu einer Gaußfunktion führt, kann man die gleiche Formel (6.7.4) weiterverwenden, sofern man die Varianzen addiert.

Die Gesamtkraft ist die Summe aller Einzelkräfte, d.h. es gilt
$$\begin{eqnarray}\vec{F} & = & \frac{\mu_0\,\vec{r}}{4\,\pi\,r^3}\,\left(c^2 + \frac{3\,(\sigma_{p1}^2 + \sigma_{p2}^2)}{2}\right)\,q_{p1}\,q_{p2} + \\ & & \frac{\mu_0\,\vec{r}}{4\,\pi\,r^3}\,\left(c^2 + \frac{3\,(\sigma_{n1}^2 + \sigma_{n2}^2)}{2}\right)\,q_{n1}\,q_{n2} + \\ & & \frac{\mu_0\,\vec{r}}{4\,\pi\,r^3}\,\left(c^2 + \frac{3\,(\sigma_{p1}^2 + \sigma_{n2}^2)}{2}\right)\,q_{p1}\,q_{n2} + \\ & & \frac{\mu_0\,\vec{r}}{4\,\pi\,r^3}\,\left(c^2 + \frac{3\,(\sigma_{n1}^2 + \sigma_{p2}^2)}{2}\right)\,q_{n1}\,q_{p2} .\end{eqnarray}$$ (6.7.10)
Unter Verwendung der Gleichungen (6.7.8), (6.7.9) und mit Hilfe der Beziehung $\mu_0\,c^2 = 1/\varepsilon_0$ vereinfacht sich das zu
$$\vec{F} = -\frac{9}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\left(\frac{\sigma_{n1}^2 - \sigma_{p1}^2}{4\,c^2 + 3\,(\sigma_{n1}^2+\sigma_{p1}^2)}\,Q_{1}\right)\left(\frac{\sigma_{n2}^2 - \sigma_{p2}^2}{4\,c^2 + 3\,(\sigma_{n2}^2 + \sigma_{p2}^2)}\,Q_{2}\right).$$ (6.7.11)

Dieses Ergebnis ist bemerkenswert! Nimmt man nämlich einmal an, dass, wie in Abbildung 6.7.2 gezeigt, die Varianz der positiven Ladungswolke Null ist, so folgt eine immer anziehende Kraft, die genau zwischen Quelle und Ziel ausgerichtet ist und mit dem Quadrat des Abstandes abnimmt. Gleiches gilt für den umgekehrten Fall. Es kann aber auch eine abstoßende Kraft auftreten, wenn bei einem Objekt die negative und beim anderen Objekt die positive Ladungswolke Varianz besitzt. Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass sich gleichartige Objekte immer gegenseitig anziehen, während sich gegensätzliche Objekte abstoßen.

Es fällt leicht, dass eben Festgestellte mit der Gravitation in Verbindung zu bringen. Zum einen ist die Ähnlichkeit mit dem newtonschen Gravitationsgesetz
$$\vec{F} = -G\,\tilde{m}_1\,\tilde{m}_2\,\frac{\vec{r}}{r^3}.$$ (6.7.12)
kaum zu übersehen. Zum anderen ist klar, dass es sich bei der einen Sorte um gewöhnliche Materie handelt, während die andere offenbar Antimaterie darstellt. Zwischen Materie und Materie wirkt dabei die normale Gravitationskraft. Ebenso zwischen Antimaterie und Antimaterie. Interessanterweise gibt es zwischen Materie und Antimaterie eine Abstoßung. Dieses ist vermutlich als der Grund dafür zu sehen, dass in unserer Umgebung keine Antimaterie vorkommt, da diese entweder längst vernichtet worden ist oder aufgrund der Antigravitation weggedrückt wurde.

Die Frage, die man sich nun allerdings stellen muss ist die, welche Anteile in Formel (6.7.11) der Gravitationskonstanten $G$ entsprechen und welche den schweren Massen $\tilde{m}_1$ und $\tilde{m}_2$ zuzuordnen sind? Eine der wohl bekanntesten Entdeckungen der Physik ist die, dass durch die Vernichtung von schwerer Masse Energie frei wird. Schwere Masse enthält also Energie. Oder anders ausgedrückt, schwere Masse ist Energie. Wenn man sich die Gleichung (6.7.11) ansieht, dann erkennt man auch, warum das so ist: Die Ladungswolken haben kinetische Energie! Bremst man die Einheitsladungen in den Ladungswolken ab, so verringert sich dadurch die Differenz der Varianzen und die resultierende Kraft in Gleichung (6.7.11) wird kleiner. Theoretisch kann man die schwere Masse komplett beseitigen, indem man den Ladungswolken ihre gesamte kinetische Energie entzieht. Die Differenz der Varianzen wird dann Null und die Kraft in Ausdruck (6.7.11) verschwindet. Es ist daher möglich zu postulieren, dass für eine schwere Masse $\tilde{m}$ ganz grundsätzlich der Zusammenhang
$$\tilde{m} = m_e\,\frac{\sigma_n^2-\sigma_p^2}{4\,c^2 + 3\,(\sigma_n^2+\sigma_p^2)}\,\frac{Q}{e} \approx \frac{1}{4}\,m_e\,\frac{\sigma_n^2-\sigma_p^2}{c^2}\,\frac{Q}{e}$$ (6.7.13)
gilt. Hierbei ist $e$ die Elementarladung und $m_e$ eine Proportionalitätskonstante mit der Einheit $kg$.

Mit Hilfe dieses Postulates lässt sich (6.7.11) zu
$$\vec{F} = -G\,\tilde{m}^2\,\frac{\vec{r}}{r^3}$$ (6.7.14)
umformen, wenn man für die zuvor eingeführte Konstante $m_e$ den Wert
$$m_e = \frac{3\,e}{2\,\sqrt{\varepsilon_0\,G\,\pi}} = 5.57782\cdot 10^{-9}\,kg$$ (6.7.15)
annimmt.

Wenn entweder die negative oder aber die positive Ladungswolke keine Varianz besitzt gilt weiterhin die Beziehung
$$E = \tilde{m}\,c^2,$$ (6.7.16)
denn aus Formel (6.7.13) folgt durch Multiplikation beider Seiten mit $c^2$ der Zusammenhang
$$\tilde{m}\,c^2 = \frac{1}{4}\,m_e\,\sigma^2\,\frac{Q}{e}.$$ (6.7.17)
Die rechte Seite dieses Ausdrucks stellt dann die kinetische Energie dar, die im Gesamtobjekt enthalten ist. Mit anderen Worten: $\tilde{m}\,c^2$ ist die innere kinetische Energie die in einer schweren Masse gespeichert ist. Bremst man nämlich in der Ladungswolke alle Teilladungen vollständig ab, so verschwindet die Varianz $\sigma^2$ und die schwere Masse ist ebenso wie die kinetische Energie verschwunden.

Zusammengefasst folgen aus diesem Abschnitt zwei wichtige Erkenntnisse:
  1. Das Phänomen "Schwere Masse" entsteht durch thermische Energie auf subatomarer Ebene.
  2. Gravitation ist, ähnlich wie magnetische Kraft, eine Restwechselwirkung der elektrischen Kraft. Im Gegensatz zur magnetischen Kraft, die durch Unterschiede im Mittelwert der Geschwindigkeitsverteilung von Ladungen (Strom) verursacht wird, entsteht die Schwerkraft durch Abweichungen in der Varianz.