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6.4 Die elektromagnetische Kraft

6.4.1 Der Quantinodruck gleichförmig bewegter Einheitsladungen

Bei gleichförmig bewegten Einheitsladungen gilt die Besonderheit, dass sich die Zentren der Emissionsphären $\vec{r}_c(t,\tau)$ immer genau dort befinden, wo sich gerade auch die Quellen aufhalten, d.h. mit $\vec{v}_s := \dot{\vec{r}}_s(\tau)$ als konstante Geschwindigkeit der Quelle ist
$$\vec{r}_c(t,\tau) = \vec{r}_s(t) = \vec{r}_s(\tau) + \vec{v}_s\,(t-\tau).$$ (6.4.1.1)
Setzt man dieses in die Gleichungen (6.3.11) und (6.3.12) ein, so erhält man
$$\vec{w}(\tau) = \frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(t)}{t-\tau}$$ (6.4.1.2)
und
$$\vec{u}(\tau) = \frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(t)}{t-\tau} - (\vec{v}_d - \vec{v}_s)$$ (6.4.1.3)
wobei $\vec{v}_d := \dot{\vec{r}}_d(t)$ für die konstante Geschwindigkeit der Empfängerladung steht.

Mit Hilfe der Gleichungen (6.4.1.2) und (6.4.1.3) kann der Quantinodruck (6.3.15) unter Verwendung der Substitution $T := t-\tau$ zu
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi} \,\int\limits_{0}^{\infty} \left\Vert\frac{\vec{r}}{T}-\vec{v}\right\Vert^2\,\frac{\vec{r}}{T}\,\sgn\left(\frac{r^2}{T}-\vec{r}\,\vec{v}\right) \,\Gamma\left(\frac{r}{T}\right)\,\frac{\intfunc_{0}^{c}\left(\left\Vert \frac{\vec{r}}{T}-\vec{v}\right\Vert\right)}{r^3}\,\d{T}$$ (6.4.1.4)
umgeformt werden. Aus Gründen der Bequemlichkeit wurden dabei die Abkürzungen $\vec{r} := \vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(t)$, $\vec{v} := \vec{v}_d-\vec{v}_s$ und $r := \Vert\vec{r}\Vert$ eingeführt. Der Intervallfunktion kann man sich entledigen, indem man sich überlegt, dass die untere Bedingung aufgrund der Betragsbildung des Argumentes sowieso immer gilt und die obere Bedingung dann erfüllt ist, wenn $T$ einen bestimmten Wert, nämlich
$$T_c = \frac{\sqrt{r^2 c^2 - \Vert\vec{r}\times\vec{v}\Vert^2} - \vec{r}\,\vec{v}}{c^2 - v^2}$$ (6.4.1.5)
überschreitet. Dabei ist zu beachten, dass der Ausdruck unter der Wurzel reell zu bleiben hat. Falls dieser Term jedoch imaginär wird, so besitzt die Bedingung in der Intervallfunktion überhaupt keine Lösung und liefert demzufolge im gesamten Integrationsgebiet Null. Dies wiederum hat einen verschwindenden Quantinodruck zur Folge. Mit Hilfe von $T_c$ ist es möglich Ausdruck (6.4.1.4) zu
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r}\,\int\limits_{T_c}^{\infty} \left\Vert\frac{\vec{r}}{T}-\vec{v}\right\Vert^2\,\frac{\Gamma\left(\frac{r}{T}\right)}{T\,r^2}\,\sgn\left(\frac{r^2}{T}-\vec{r}\,\vec{v}\right)\,\d{T}$$ (6.4.1.6)
vereinfachen.

Um das Integral lösen zu können, wird die Emissionsgeschwindigkeitsverteilung $\Gamma(w)$ durch eine Taylorreihe ausgedrückt, d.h. es wird der Ansatz
$$\Gamma(w) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \Gamma_k\,w^k$$ (6.4.1.7)
gewählt. Damit folgt
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \Gamma_k\,\mathcal{I}_k$$ (6.4.1.8)
mit
$$\mathcal{I}_k := \int\limits_{T_c}^{\infty} \left\Vert\frac{\vec{r}}{T}-\vec{v}\right\Vert^2\,\frac{r^{k-2}}{T^{k+1}}\,\sgn\left(\frac{r^2}{T}-\vec{r}\,\vec{v}\right)\,\d{T}.$$ (6.4.1.8)

Die Lösung der Integrale des Typs $\mathcal{I}_k$ ist nun ein rein mathematisches Problem. Wegen der Beziehung $\Vert\vec{x}\Vert^2 = \vec{x}\cdot\vec{x}$ gilt zunächst
$$\mathcal{I}_k = \int\limits_{T_c}^{\infty} \left(\frac{r^2}{T^2} - \frac{2\,\vec{r}\,\vec{v}}{T} + v^2\right)\,\frac{r^{k-2}}{T^{k+1}}\,\sgn\left(\frac{r^2}{T}-\vec{r}\,\vec{v}\right)\,\d{T}.$$ (6.4.1.9)
Durch Substitution von $r^2/T-\vec{r}\,\vec{v}$ mit $z$ folgt
$$\mathcal{I}_k = \frac{1}{r^{k+4}} \int\limits_{-\vec{r}\,\vec{v}}^{r^2/T_c-\vec{r}\,\vec{v}} (\vec{r}\,\vec{v} + z)^{k-1}\,\left(z^2 + r^2\,v^2 -(\vec{r}\,\vec{v})^2\right)\,\sgn\left(z\right)\,\d{z}.$$ (6.4.1.10)
Dieses Integral lässt sich mit Hilfe der Beziehung
$$\int\limits_{a}^{b}\,f(x)\,\sgn(x)\,\d{x} = \sgn(a)\int\limits_{a}^{0}f(x)\,\d{x} + \sgn(b)\int\limits_{0}^{b}f(x)\,\d{x}$$ (6.4.1.11)
lösen und man erhält nach etwas Umformen die finale Lösung
$$\begin{eqnarray}\mathcal{I}_k & = & \left(\sgn(\vec{r}\,\vec{v}) + \sgn\left(\frac{r^2}{T_c}-\vec{r}\,\vec{v}\right)\right) \left(\frac{(k+3)\,(\vec{r}\,\vec{v})^{k+2}}{(k+1)(k+2)\,r^{k+4}} - \frac{(\vec{r}\,\vec{v})^k\,v^2}{k\,r^{k+2}}\right) + \\ & & \sgn\left(\frac{r^2}{T_c}-\vec{r}\,\vec{v}\right) \left(\frac{r^k}{(k+2)\,T_c^{k+2}} - \frac{2\,r^{k - 2}\,\vec{r}\,\vec{v}}{(k+1)\,T_c^{k + 1}} + \frac{r^{k - 2}\,v^2}{k\, T_c^k}\right).\end{eqnarray}$$ (6.4.1.12)


6.4.2 Der Quantinodruck bei sehr langsamen, gleichförmig bewegten Ladungen

Da die Differenzgeschwindigkeit $\vec{v}$ zwischen Quelle und Empfänger in der Alltagsphysik immer sehr viel kleiner ist als $c$, lohnt es sich, diesen Spezialfall gesondert zu betrachten und die Integrale (6.4.1.12) im Quantinodruck (6.4.1.8) durch abgebrochene Taylorreihen anzunähern.

Da es sich bei $\vec{v}$ um einen Vektor handelt, bedient man sich dazu am besten eines Kunstgriffs, indem man anstelle von $\vec{v}$ den Vektor $\kappa\,\vec{v}$ einsetzt. Die eigentliche Reihenentwicklung wird dann in Bezug auf den skalaren Parameter $\kappa$ an der Stelle $0$ durchgeführt. Vernachlässigt man nun alle Terme der Ordnung $\mathcal{O}\{\kappa^3\}$ und höher, so entfernt man automatisch auch alle Terme, bei denen mehr als zwei Geschwindigkeitskomponenten multiplikativ verknüpft sind. Zum Abschluss setzt man $\kappa$ zu Eins und erhält
$$\mathcal{I}_k \approx \frac{c^k}{r^2} \left(\frac{c^2}{k+2} + \frac{(k-1)\,c}{k + 1} \left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right) + \frac{k-2}{2}\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right)^2 - \frac{k - 2}{2\,k} v^2\right),$$ (6.4.2.1)
d.h. der Quantinodruck (6.4.1.8) lautet für Geschwindigkeiten $v \ll c$
$$\begin{eqnarray}\vec{\mathcal{P}}_e(\vec{r},\vec{v}) & \approx & \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \,\frac{\Gamma_k\,c^k}{r^2} \left(\frac{c^2}{k+2} + \frac{(k-1)\,c}{k + 1} \left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right) \right. \\ & + & \left. \frac{k-2}{2}\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right)^2 - \frac{k - 2}{2\,k} v^2\right).\end{eqnarray}$$ (6.4.2.2)

Es wurde bereits vorweggenommen, dass der Quantinodruck direkt proportional zur elektromagnetischen Kraft $\vec{F}$ ist. Um von diesem "Druck" mit der Einheit Kraft pro Fläche zu einer Kraft zu kommen, ist es naheliegend, ihn mit dem Wirkungsquerschnitt der Empfänger-Einheitsladung $\sigma_e$ zu multiplizieren, die eine Einheitsladung aufgrund der Postulate der Quantinotheorie haben muss. Möchte man die resultierende Formel noch auf beliebige Ladungsmengen verallgemeinern, muss man zusätzlich noch mit der relativen Ladung der Quelle $q_s/e$ und der relativen Ladung des Empfängers $q_d/e$ multiplizieren, da jede Einheitsladung der Quelle auf jede Einheitsladung des Empfängers separat wirkt (Es wird angenommen, dass eine Einheitsladung die Ladungsmenge $e$ beisitzt). Es folgt
$$\vec{F}(\vec{r},\vec{v}) = \frac{\sigma_e\,q_d\,q_s}{e^2}\,\vec{\mathcal{P}}_e(\vec{r},\vec{v}).$$ (6.4.2.3)
Das diese Formel tatsächlich in der Lage ist, die gesamte elektromagnetische Kraft korrekt zu beschreiben, soll in diesem und im nächsten Abschnitt bewiesen werden.

Zu diesem Zweck wird in Gleichung (6.4.2.3) die Differenzgeschwindigkeit $\vec{v}$ zunächst auf Null gesetzt. Man erhält
$$\vec{F}(\vec{r}) = \frac{q_d\,q_s\,\sigma_e\,a_c\,\mathcal{m}_{pho}\,c^2}{8\,\pi\,e^2}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \,\Gamma_k\,\frac{c^k}{k+2}.$$ (6.4.2.4)
Ein Vergleich mit dem Coulombgesetz
$$\vec{F}(\vec{r}) = \frac{q_d\,q_s}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{\vec{r}}{r^3} = \frac{q_d\,q_s\,c^2\,\mu_0}{4\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}$$ (6.4.2.5)
zeigt, dass sich bei geeigneter Wahl der Parameter $\Gamma_k$ eine vollständige Übereinstimmung erreichen lässt. Die zu erfüllende Gleichung lautet
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} \,\Gamma_k\,\frac{c^k}{k+2} = 2\,\mu_h,$$ (6.4.2.6)
wobei die zum Teil unbekannten Naturkonstanten in
$$\mu_h := \frac{e^2\,\mu_0}{a_c\,\mathcal{m}_{pho}\,\sigma_e}$$ (6.4.2.7)
untergebracht wurden.

6.4.3 Die Lorentzkraft

Dass sich das Coulombkraftgesetz erfüllen lässt, verwundert nicht besonders. Die magnetische Kraft hat jedoch eine vollkommen andere, man könnte fast sagen merkwürdige Struktur. Sie wirkt zum einen immer senkrecht zur Bewegungsrichtung einer Ladung und verschwindet zum anderen, wenn sich entweder die Quelle oder aber das Ziel in Ruhe befinden.

Um zu verstehen, dass sich auch die magnetische Kraft durch die Wirkung des Quantinofeldes erklären lässt, stellt man sich am besten einen unendlich langen geraden elektrischen Leiter entlang der x-Achse vor, in welchem sich die negativen Ladungsträger in die negative x-Richtung bewegen, während die Geschwindigkeit der positiven Ladungsträger genau entgegengesetzt gerichtet ist. Um die Kraftwirkung der gesamten Anordnung $\vec{F}_t$ berechnen zu können, stellt man sich den Draht weiterhin aus unendlichen kurzen Teilstücken zusammengesetzt vor. In jedem dieser Segmente bewegt sich nun eine negative Linienladung $\lambda$ nach links, während sich eine positive, gleichgroße Linienladung nach rechts bewegt. Die Teilkraft $\vec{F}_p$ eines solchen Teilstückes am Ort $\vec{x} = (x,0,0)^T$ auf eine Ladung $q_d$ am Ort $\vec{r}$ beträgt
$$\vec{F}_p = \frac{q_d\,\lambda\,\sigma_e}{e^2}\,\left(\vec{\mathcal{P}}_e(\vec{r}-\vec{x},\vec{v}-\vec{u}) - \vec{\mathcal{P}}_e(\vec{r}-\vec{x},\vec{v}+\vec{u})\right)$$ (6.4.3.1)
wobei $\vec{u}=(u,0,0)^T$ die Geschwindigkeit der Linienladungen ist. Setzt man die Gleichungen (6.4.2.2), (6.4.2.3) und (6.4.2.7) ein, so erhält man
$$\begin{eqnarray}\vec{F}_p & = & \frac{q_d\,\lambda\,\mu_0\,\mu_h}{4\,\pi}\,\frac{\vec{R}}{R^3}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \,\Gamma_k\,c^k \left(-c\,\frac{k-1}{k + 1} \left(\frac{\vec{R}}{R}\cdot\vec{u}\right) \right. - \\ & & \left. (k-2)\left(\frac{\vec{R}}{R}\cdot\vec{v}\right)\left(\frac{\vec{R}}{R}\cdot\vec{u}\right) + \frac{k - 2}{k} \vec{v}\,\vec{u}\right)\end{eqnarray}$$ (6.4.3.2)
mit $\vec{R}=\vec{r}-\vec{x} = (r_x-x,r_y,r_z)^T$. Das Wegintegral entlang der x-Achse
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \vec{F}_p\,\d{x}$$ (6.4.3.3)
liefert dann die Kraft $\vec{F}_t$ der gesamten Anordnung. Nach Ausführung der Integration folgt
$$\vec{F}_t = u\,\frac{q_d\,\lambda\,\mu_0\,\mu_h}{\pi}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \,\Gamma_k\,c^k \left( \begin{array}{c} -\frac{\pi\,c\,(k-1)}{8\,(k+1)\,\sqrt{r_y^2+r_z^2}}-\frac{k-2}{6}\,\frac{r_y\,v_y+r_z\,v_z}{r_y^2+r_z^2} \\ -\frac{(k-3)\,(k-2)}{6\,k} \,\frac{r_y\,v_x}{r_y^2+r_z^2} \\ -\frac{(k-3)\,(k-2)}{6\,k} \,\frac{r_z\,v_x}{r_y^2+r_z^2} \\ \end{array} \right)$$ (6.4.3.4)

Auf dem klassischen Wege würde man, um die magnetische Kraft zu erhalten, zunächst mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes die magnetische Flussdichte und anschließend unter Zuhilfenahme des Lorentzkraftgesetzes die Kraftwirkung berechnen. Beide Gesetze zusammen ergeben
$$\vec{F}_{t} = \frac{\mu_0}{4\,\pi} \left(q_d\,\vec{v} \times \int\limits_{-\infty}^{+\infty} (2\,\vec{I}) \times \frac{\vec{R}}{R^3}\d{x}\right).$$ (6.4.3.5)
Der Strom $\vec{I}$ wird hier im Übrigen mit Zwei multipliziert, da man es in diesem konkreten Fall mit insgesamt zwei Strömen zu tun hat: nämlich einen bestehend aus negativen Ladungsträgern, der physisch nach links fließt, und einem aus sich nach rechts bewegenden positiven Ladungsträgern. Beide Ströme gehen technisch gesehen in die gleiche Richtung. Im Übrigen ist der Strom $\vec{I}$ gleich dem Produkt aus Linienladungsdichte $\lambda$ und der Bewegungsgeschwindigkeit der positiven Ladungsträger $\vec{u}$.

Das Integral in Formel (6.4.3.5) kann gelöst werden und man erhält nach Ausmultiplizieren
$$\vec{F}_{t} = u\,\frac{q_d\,\lambda\,\mu_0}{\pi}\, \left( \begin{array}{c} \frac{r_y\,v_y+r_z\,v_z}{r_y^2+r_z^2} \\ -\frac{r_y\,v_x}{r_y^2+r_z^2} \\ -\frac{r_z\,v_x}{r_y^2+r_z^2} \\ \end{array} \right).$$ (6.4.3.6)
Vergleicht man das Ergebnis (6.4.3.4) mit dem der klassischen Berechnung (6.4.3.6) so erkennt man, dass bei geeigneter Wahl der Parameter auch hier eine Gleichheit erzielt werden kann. Konkret bedeutet das, dass die Gleichungen
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\,\Gamma_k\,c^k\,\frac{k-1}{k+1} = 0,\quad \sum\limits_{k=1}^{\infty}\,\Gamma_k\,c^k\,\frac{k-2}{6} = -\mu_h,$$ (6.4.3.7)
und
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\,\Gamma_k\,c^k\,\frac{(k-3)(k-2)}{6\,k} = \mu_h$$ (6.4.3.8)
zu erfüllen sind. Zusammen mit Gleichung (6.4.2.6) sind also vier Randbedingungen gegeben, welche die freie Wahl der Parameter $\Gamma_k$ der Emissionsgeschwindigkeitsverteilung $\Gamma(w)$ einschränken.

Obwohl es für die Überlegungen dieses Abschnittes eigentlich unwesentlich ist, soll aus Gründen der Vollständigkeit wenigstens eine mögliche Beispielverteilung angegeben werden, welche die vier genannten Bedingungen erfüllt
$$\Gamma(w) = \mu_h\left(\frac{333\,w}{238\,c} + \frac{6150\,w^3}{119\,c^3} - \frac{600\,w^4}{7\,c^4} + \frac{1305\,w^5}{34\,c^5}\right). $$ (6.4.3.9)

Abbildung 6.4.3.1: Typischer Verlauf der Emissionsgeschwindigkeitsverteilung.
Der Verlauf dieser Funktion ist in Abbildung 6.4.3.1 dargestellt. Man erkennt, dass die Nichtlinearität nur gering ausgeprägt ist und vor allem daraus resultiert, dass kleine Emissionsgeschwindigkeiten eine überproportional geringe Emissionswahrscheinlichkeit haben. Das Abknicken der Kurve nach oben hin zeigt weiterhin, dass unendlich schnelle Quantinos ebenfalls nicht vorkommen. Allerdings lässt sich über die genaue Form der Verteilung für Emissionsgeschwindigkeiten größer $c$ nicht viel aussagen, da die klassische Elektrodynamik hierzu keine Anhaltspunkte bietet.

Für die Lorentzkraft spielt die genaue Form der Emissionsgeschwindigkeitsverteilung allerdings auch keine Rolle, denn es reicht aus, irgendeine Lösung der Randbedingungen (6.4.2.6), (6.4.3.7) und (6.4.3.8) zu finden und in den Formeln (6.4.2.2) und (6.4.2.3) einzusetzen: es folgt immer die gleiche in der Physik bislang unbekannte, aber außerordentlich interessante Formel
$$\vec{F}(\vec{r},\vec{v}) = \frac{\mu_0\,q_d\,q_s}{4\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\left((c^2 + v^2) - \frac{3}{2}\,\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right)^2\right),$$ (6.4.3.10)
die man guten Gewissens als ein Verallgemeinertes Coulombgesetz bezeichnen kann, da sie dass klassische Coulombgesetz als Spezialfall enthält. Anzumerken ist, dass es sich bei der Kraft um die elektromagnetische Gesamtkraft - also die elektrische und die magnetische Kraft zusammen - zwischen zwei langsamen, näherungsweise gleichförmig bewegten Punktladungen handelt. Dabei ist $\vec{r}$ der Abstandsvektor und $\vec{v}$ der Geschwindigkeitsdifferenzvektor zwischen Zielladung und Quellladung. Wie sich später noch zeigen wird, ist mit ihr, neben der magnetischen Kraft auch die Schwerkraft erklärbar.

Es sei vorweggenommen, dass die magnetische Kraft und die Schwerkraft eng miteinander verwandt sind, denn Gravitation entsteht immer dann, wenn sich entgegengesetzt gleichgroße elektrische Ladungen an einem Raumpunkt perfekt neutralisieren, sich aber ihre Geschwindigkeitsverteilungen in der Varianz unterscheiden. Dieser, dem Magnetismus ähnelnde Effekt, blieb der Physik bisher verborgen, während die Tatsache, dass die magnetische Kraft durch Abweichungen bei den Mittelwerten der Geschwindigkeitsverteilungen entsteht, bereits um 1825/1826 ([Leuchtmann2005] Seite 112) von André-Marie Ampère erkannt worden ist.

6.4.4 Der magnetische Dipol

Abbildung 6.4.4.1: Die geometrischen Gegebenheiten
Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass die Quantinotheorie die magnetische Kraftwirkung eines unendlich langen geraden Leiters erklären kann. Dies ist bemerkenswert, jedoch noch nicht allgemein genug. In diesem Abschnitt wird daher untersucht, welche Kraft ein Strom $I$ in einer kleinen rechteckigen Leiterschleife, wie sie in Abbildung 6.4.4.1 dargestellt ist, auf eine Probeladung $q_d$ bewirkt.

Es wird angenommen, dass der Strom aus zwei Teilströmen besteht. Der erste soll durch positive Ladungsträger verursacht sein, die sich mit der Geschwindigkeit $u$ im Uhrzeigersinn die Leiterschleife entlang bewegen. Der zweite Teilstrom bestehe hingegen aus gleich schnellen, negativen Ladungsträgern und soll sich zum ersten entgegengesetzt gerichtet bewegen. Die Gesamtladung der Teilströme sei jeweils gleich groß und betrage $\pm q_s$.

Da der Leiter der Schleife eine Gesamtlänge von $8\,L$ besitzt und die Gesamtladung eines jeden Teilstromes $q_s$ beträgt, folgt eine Linienladungsdichte von $q_s/(8\,L)$. Da der Strom definiert ist als Linienladungsdichte mal Geschwindigkeit, beträgt die Stromstärke eines jeden Teilstroms somit $q_s/(8\,L)\,u$. Insgesamt gilt also
$$I = \frac{q_s\,u}{4\,L}$$ (6.4.4.1)
Die Kraft des Teilstromes der positiven Ladungsträger $\vec{F}_{p}$ kann durch Integration aller Teilkräfte entsprechend der gefundenen Formel (6.4.3.10) entlang der Leiterschleife berechnet werden. Es gilt
$$\begin{eqnarray} \vec{F}_{p}(\vec{r},\vec{v},u) & = & \frac{1}{8\,L}\,\int\limits_{-L}^{+L} F(\vec{r}-(x\,\vec{e}_x + L\,\vec{e}_y), \vec{v} - u\,\vec{e}_x)\,\d{x}+ \\ & & \frac{1}{8\,L}\,\int\limits_{-L}^{+L} F(\vec{r}-(L\,\vec{e}_x - y\,\vec{e}_y), \vec{v} - u\,(-\vec{e}_y))\,\d{y} + \\ & & \frac{1}{8\,L}\,\int\limits_{-L}^{+L} F(\vec{r}-(-x\,\vec{e}_x - L\,\vec{e}_y), \vec{v} - u\,(-\vec{e}_x))\,\d{x} + \\ & & \frac{1}{8\,L}\,\int\limits_{-L}^{+L} F(\vec{r}-(-L\,\vec{e}_x +y\,\vec{e}_y), \vec{v} - u\,\vec{e}_y)\,\d{y} \end{eqnarray} $$ (6.4.4.2)
Für die Kraft des Stromes der negativen Ladungsträger $\vec{F}_{n}$ gilt, wie man sich leicht überlegen kann,
$$\vec{F}_{n}(\vec{r},\vec{v},u) = -\vec{F}_{p}(\vec{r},\vec{v},-u).$$ (6.4.4.3)
Die Gesamtkraft $\vec{F}_t$ lautet somit
$$\vec{F}_t(\vec{r},\vec{v}) = \vec{F}_{p}(\vec{r},\vec{v},u) - \vec{F}_{n}(\vec{r},\vec{v},-u) = 2\, \vec{F}_{p}(\vec{r},\vec{v},u).$$ (6.4.4.4)

Wenn $L$ nun sehr klein gegenüber dem Abstand der Zielladung $r$ ist, kann man die resultierende Formel stark vereinfachen, indem man $\vec{F}_t$ bezüglich $L$ an der Stelle $0$ in eine Taylorreihe entwickelt und nach dem ersten Glied abbricht. Tut man dieses, so erhält man
$$\vec{F}_{t}(\vec{r},\vec{v}) = \frac{L\,\mu_0\,q_d\,q_s\,u}{4\,\pi}\, \left( \begin{array}{c} \frac{3\,r_y\,r_z\,v_z}{r^5}-\frac{3\,r_z^2\,v_y}{r^5}+\frac{v_y}{r^3} \\ -\frac{3\,r_x\,r_z\,v_z}{r^5}+\frac{3\,r_z^2\,v_x}{r^5}-\frac{v_x}{r^3} \\ \frac{3\,r_x\,r_z\,v_y}{r^5}-\frac{3\,r_y\,r_z\,v_x}{r^5} \\ \end{array} \right)$$ (6.4.4.5)
Bemerkenswerterweise kann man diese Kraft $\vec{F}_{t}$ auch als ein Kreuzprodukt aus der Geschwindigkeit $\vec{v}$ und einem nur von $\vec{r}$ abhängenden Vektorfeld ausdrücken:
$$\vec{F}_{t}(\vec{r},\vec{v}) = \frac{L\,\mu_0\,q_d\,q_s\,u}{4\,\pi}\,\left(\vec{v}\,\,\times\, \frac{\vec{e}_z\,r^2 - 3\,\vec{r}\,(\vec{e}_z\cdot\vec{r})}{r^5}\right).$$ (6.4.4.6)

Abbildung 6.4.4.2: Der magnetische Dipol.
Bemerkenswert ist weiterhin, dass das Vektorfeld exakt dem entspricht, was man in der Elektrostatik als ein in z-Richtung ausgerichtetes Dipolfeld bezeichnet. Das bedeutet insbesondere, dass man in der Quantinotheorie jeden kleinen Kreisstrom mathematisch durch zwei entgegengesetzt geladene magnetische Monopole modellieren kann. Abbildung 6.4.4.2 verdeutlicht dieses. Dargestellt ist hier die x-z-Ebene für $y=0$. Die Leiterschleife ist nur als waagerechter Strich auf der x-Achse zu erkennen. Die beiden farbigen Kreise markieren die gedachten magnetischen Monopole. Grau im Hintergrund ist das resultierende Feld - die magnetische Induktion - dargestellt, die man, genau wie in der klassischen maxwellschen Feldtheorie auch, durch
$$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\,\pi\,r^2}\,\frac{3\,\vec{r}\,(\vec{\mu}\cdot\vec{r})-\vec{\mu}\,r^2}{r^3}$$ (6.4.4.7)
definieren kann. Mit
$$\vec{\mu} = -I\,(2\,L)^2\,\vec{e}_z = -q_s\,u\,L\,\vec{e}_z$$ (6.4.4.8)
als das magnetische Dipolmoment erhält man den einfachen Zusammenhang
$$\vec{F}_{t} = q_d\,\left(\vec{v}\times\vec{B}\right),$$ (6.4.4.9)
was unschwer als die Lorentzkraft identifiziert werden kann.

Abbildung 6.4.4.3: Beliebige Leiterschleifen lassen sich durch unendlich viele unendlich kleine Leiterschleifen zusammensetzen, da sich alle Ströme bis auf die in der äußeren Umrandung kompensieren.
Da sich aus vielen solcher Leiterschleifen (Abbildung 6.4.4.3) bekanntlich beliebig geformte Leiterschleife zusammensetzen lassen, bedeutet das, dass die Quantinotheorie an dieser Stelle mit den Vorhersagen der maxwellschen Elektro- und Magnetostatik übereinstimmt. Insbesondere gelten daher auch die beiden Maxwellgleichungen dieses Spezialfalles. Die erste Gleichung
$$\mathrm{div}\vec{B} = 0$$ (6.4.4.10)
besagt, dass die magnetische Induktion $\vec{B}$ keine Quellen besitzt, d.h. ihre Feldlinien sind immer in sich geschlossen und es gibt nirgendwo Orte im Raum, wo sie beginnen oder enden. Mit anderen Worten, so etwas wie magnetische Monopole gibt es nicht. Stattdessen entsteht das Magnetfeld erst durch die Anwesenheit eines geschlossenen Strompfades. Die zweite Maxwellgleichung
$$\mathrm{rot}\vec{B} = \mu_0\,\vec{j}$$ (6.4.4.11)
beschreibt genau das, indem sie die magnetische Induktion $\vec{B}$ mit dem Strom $\vec{j}$ verbindet.