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6.2 Quantinodichte eines schwingenden Dipols

6.2.1 Die Berechnung der effektiven Quantinodichte

In diesem Abschnitt wird die im vorherigen Abschnitt hergeleitete Formel (6.1.9) anhand eines aus zwei Einheitsladungen bestehenden, schwingenden Dipols analysiert. Der Einfachheit halber wird davon ausgegangen, dass beide zunächst am Koordinatenursprung ruhen. Ab $t=0$ soll die negative Ladung jedoch damit beginnen, um den Nullpunkt herum in Richtung der z-Achse (in Abbildung 6.2.2.1; also nach oben und unten) zu schwingen. Für die Geschwindigkeit der negativen Ladung gilt die Beziehung
$$\dot{\vec{r}}_{s}^{(-)}(t) = l\,\omega\,\vec{e}_z\,\intfunc_{0}^{\infty}(t)\, \cos(\omega t).$$ (6.2.1.1)
Damit die Berechnung einfach bleibt, wird weiter angenommen, dass die Auslenkung $l$ so klein ist, dass sie keine Rolle spielt. Tatsächlich ist diese Näherung in der Praxis meist sehr gut erfüllt, da sich die Schwingungen des elektromagnetischen Feldes oft über viele hundert Kilometer weit in den Raum hinaus ausbreiten, die Auslenkung der Ladungen für gewöhnlich aber nur Bruchteile von Millimetern erreicht.

Aufgrund dieser Näherung gilt
$$\vec{r}_s^{(-)}(\tau) = l\,\vec{e}_z\,\intfunc_{0}^{\infty}(t)\, \sin(\omega t) \approx 0.$$ (6.2.1.2)
Setzt man das in die Formel (6.1.1) ein, so erhält man die Gleichung der Emissionsphären
$$\vec{r}_c^{(-)}(t,\tau) = l\,\omega\,\vec{e}_z\,\intfunc_{0}^{\infty}(\tau)\, \cos(\omega \tau)(t-\tau).$$ (6.2.1.3)
Dieses kann wiederum in Gleichung (6.1.9) eingesetzt werden. Es folgt
$$p_e^{(-)}(t) = \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \int\limits_{-\infty}^{t} \frac{\intfunc_{0}^{c}\left(\frac{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,\tau\Vert}{t-\tau}\right)}{(t-\tau)^2\,\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t-l\,\omega\,\vec{e}_z\,\intfunc_{0}^{\infty}(\tau)\, \cos(\omega \tau)(t-\tau)\Vert}\,\d{\tau}$$ (6.2.1.4)
wobei $\vec{r}_0 + \vec{v}\,t$ die Bewegungsgleichung $\vec{r}_d(t)$ des Empfängers ist. Der Rest dieses Abschnittes beschäftigt sich damit, Formel (6.2.1.4) zu vereinfachen.

Zunächst entledigt man sich der Intervallfunktion über dem Bruchstrich, indem man ausnutzt, dass die untere Grenze ohne Bedeutung ist, da das Argument der Intervallfunktion aufgrund der Betragsbildung und wegen $t\geq\tau$ niemals kleiner werden kann als Null. Die obere Grenze ist hingegen erreicht, wenn $\tau$ den Wert
$$\tau_c = \frac{c^2\,t + \vec{r}_0 \vec{v} - \sqrt{(\vec{r}_0 \vec{v})^2 + c^2 (\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)^2 - r_0^2 v^2}}{c^2 - v^2}$$ (6.2.1.5)
annimmt und die Bedingung $v < c$ eingehalten wird. Für $v \ll c$ kann Gleichung (6.2.1.5) im Übrigen durch die etwas einfachere Näherung
$$\tau_c \approx \frac{(c\,r_0 - \vec{r}_0\,\vec{v})(c\,t - r_0)}{c^2\,r_0}$$ (6.2.1.6)
ersetzt werden.

Die Gleichung (6.2.1.5) kann nun genutzt werden, um die Gleichung (6.2.1.4) in
$$p_e^{(-)}(t) = \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \int\limits_{-\infty}^{\tau_c} \frac{1}{(t-\tau)^2\,\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t-l\,\omega\,\vec{e}_z\,\intfunc_{0}^{\infty}(\tau)\, \cos(\omega \tau)(t-\tau)\Vert}\,\d{\tau}$$ (6.2.1.7)
umzuformen. Im nächsten Schritt wird die zu Anfang geforderte Bedingung verwendet, dass die Auslenkung $l$ sehr klein ist. Zu diesem Zweck wird eine Taylorreihenentwicklung nach $l$ durchgeführt und diese nach dem ersten Glied abgebrochen. Man erhält
$$p_e^{(-)}(t) = \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi\,\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert} \int\limits_{-\infty}^{\tau_c} \frac{1}{(t-\tau)^2} \left( 1 + \frac{l\,\omega \vec{e}_z(\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)\intfunc_{0}^{\infty}(\tau)\cos(\omega \tau)(t-\tau)}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert^2}\right)\d{\tau}.$$ (6.2.1.8)
Weiteres Umformen ergibt
$$\begin{eqnarray} p_e^{(-)}(t) & = & \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \frac{1}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert} \int\limits_{-\infty}^{\tau_c} \frac{1}{(t-\tau)^2} \d{\tau} + \\ & & \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \frac{l\,\omega\,\vec{e}_z\,(\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert^3} \intfunc_{0}^{\infty}(\tau_c)\, \int\limits_{0}^{\tau_c} \frac{\cos(\omega \tau)}{t-\tau} \d{\tau}. \end{eqnarray} $$ (6.2.1.9)
Diese Integrale lassen sich lösen. Es folgt
$$p_e^{(-)}(t) = \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \frac{1}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert} \frac{1}{(t-\tau_c)} + \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \frac{l\,\omega\,\vec{e}_z\,(\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert^3} \intfunc_{0}^{\infty}(\tau_c)\,\varrho(t,\tau_c)$$ (6.2.1.10)
mit
$$\varrho(t,\tau_c) = \cos(\omega\,t) \big(\mathrm{Ci}(\omega\,t) - \mathrm{Ci}(\omega\,(t - \tau_c))\big) + \sin(\omega\,t)\big(\mathrm{Si}(\omega\,t) - \mathrm{Si}(\omega\,(t - \tau_c))\big).$$ (6.2.1.11)

Die effektive Quantinodichte der positiven Ladung erhält man, indem man in der oberen Lösung $l=0$ und damit die Geschwindigkeit der Ladung zu Null setzt. Man bekommt
$$p_e^{(+)}(t) = \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \frac{1}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert} \frac{1}{t-\tau_c}.$$ (6.2.1.12)
Zum Abschluss werden beide Dichten mit $p_e(t) = p_e^{(+)}(t) - p_e^{(-)}(t)$ zur effektiven Gesamt-Quantinodichte
$$ p_e(t) = -\frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \frac{l\,\omega\,\vec{e}_z\,(\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert^3} \intfunc_{0}^{\infty}(\tau_c)\,\varrho(t,\tau_c)$$ (6.2.1.13)
zusammengesetzt. Im Übrigen ist, wie man leicht nachprüfen kann, die Einheit dieses Ausdrucks $1/m^3$.

6.2.2 Auswertung des Ergebnisses

Abbildung 6.2.2.1: Die effektive Quantinodichte des Dipols bei einer Schwingungsfrequenz von 25kHz aus Sicht eines ruhenden Empfängers. Die Angaben der x- und y-Achse sind in Meter. Die Gesamtzeit der Animation entspricht 500 $\mu s$
In diesen Abschnitt wird die effektive Gesamt-Quantinodichte des Dipols, also die Formel (6.2.1.13), analysiert. Bereits auf den ersten Blick fällt auf, dass die Gleichung (6.2.1.13) eine Intervallfunktion enthält, die den gesamten Ausdruck zum Verschwinden bringt, wenn das Argument, nämlich $\tau_c$, gegeben durch die Formel (6.2.1.5), kleiner ist als $0$.

Wenn man $\tau_c$ betrachtet stellt man fest, dass es sich hierbei um eine Funktion handelt, die nur von der aktuellen Zeit $t$, der Lichtgeschwindigkeit $c$, der Geschwindigkeit des Empfängers $\vec{v}$, sowie dessen Ort $\vec{r}_0$ zum Zeitpunkt des Beginns der Schwingung des Dipols abhängt. Eine interessante Fragestellung ist nun, zu welchem Zeitpunkt $t$ dieser Ausdruck Null wird, d.h. für welches $t$ gilt
$$\frac{c^2\,t + \vec{r}_0 \vec{v} - \sqrt{(\vec{r}_0 \vec{v})^2 + c^2 (\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)^2 - r_0^2 v^2}}{c^2 - v^2} = 0.$$ (6.2.2.1)
Durch Umstellen erhält man
$$(c^2\,t + \vec{r}_0 \vec{v})^2 = (\vec{r}_0 \vec{v})^2 + c^2 (\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)^2 - r_0^2 v^2.$$ (6.2.2.2)
Ausmultiplizieren der quadratischen Terme und anschließendes Kürzen führt zu
$$c^4\,t^2 = c^2\,r_0^2 + c^2\,v^2\,t^2 - r_0^2 v^2.$$ (6.2.2.3)
Nach etwas Umformen, Ausklammern und Zusammenfassen erhält man schließlich die einfache Beziehung
$$t = \frac{r_0}{c}.$$ (6.2.2.4)

Es ist bemerkenswert, dass dieses Ergebnis nicht mehr von $\vec{v}$ sondern nur noch vom Abstand $r_0$ des Empfängers zur Quelle abhängt. Das heißt, es spielt überhaupt keine Rolle, mit welcher Geschwindigkeit sich der Empfänger bewegt! Die Dichteschwankung benötigt immer die gleiche Zeit $r_0/c$ um den Empfänger zu erreichen!

Das sieht man auch an den Beispielen, die in den Abbildungen 6.2.2.1, 6.2.2.2 und 6.2.2.3 dargestellt sind. Sie zeigen die zeitliche Entwicklung der effektiven Quantinodichte bei einer Frequenz des Dipols von $25\,kHz$. Dies entspricht einer elektromagnetischen Welle noch unterhalb des Langwellenbereiches. Aufgrund des hohen Wertes der Lichtgeschwindigkeit, haben solche Wellen kilometerlange Wellenlängen, was diese Frequenz für die Darstellung gut geeignet macht.

Es muss im Übrigen an dieser Stelle darauf hingewiesen werden, dass die effektive Quantinodichte noch nicht gleichbedeutend mit einer elektromagnetischen Welle ist, denn eine solche ist im Gegensatz zur Dichte vektoriell. Allerdings enthält auch die effektive Quantinodichte bereits viele interessante Eigenschaften, was sie zu einem wichtigen Zwischenschritt macht.

Die visuelle Analyse beginnt mit Abbildung 6.2.2.1. Sie zeigt die zeitliche Entwicklung der effektiven Quantinodichte multipliziert mit dem Abstandsquadrat der Quelle aus der Sicht eines ruhenden Empfängers. Man erkennt, wie sich zum Zeitpunkt $0$ eine Schwingung auszubreiten beginnt. Nach etwa $340\,\mu s$ ist die gesamte Zeichenfläche ausgefüllt. Das bedeutet, dass sich die Welle innerhalb dieser Zeitspanne um $100\,km$ fortbewegt hat, was wiederum ziemlich genau der Lichtgeschwindigkeit entspricht. Beim Betrachten der Animation fällt weiterhin auf, dass sich an der x-Achse das Vorzeichen der Welle umkehrt. Dieses ist nicht weiter verwunderlich, da es sich ja um einen schwingenden Dipol handelt, also einer zeitveränderlichen Ladungsverschiebung, bei der auf der einen Seite immer die Ladung dominiert, die auf der anderen unterlegen ist. Wie man außerdem erkennen kann, löscht sich die Schwingung auf der x-Achse selbst vollständig aus. Dicht ober- und unterhalb hat man aber ein ständig wechselndes Vorzeichen. Der Vorzeichenwechsel selbst läuft mit Lichtgeschwindigkeit die Achse entlang. Es ist sofort klar, dass es sich hier um einen Effekt handelt, der eng mit den TEM-Wellen (transversale elektromagnetische Wellen) in Verbindung steht.

Abbildung 6.2.2.2: Die Quantinodichte aus Sicht eines sich nach oben bewegenden Empfängers (z-Richtung).
Abbildung 6.2.2.3: Die Quantinodichte aus Sicht eines sich nach rechts bewegenden Empfängers (x-Richtung).

Wie erscheint das Ganze für einen bewegten Empfänger? Die Abbildungen 6.2.2.2 und 6.2.2.3 zeigen es. Auf der linken Seite ist die effektive Quantinodichte aus der Sicht eines sich in die z-Richtung bewegendes Empfängers dargestellt, während auf der rechten Seite die Situation aus dem Standpunkt eines sich in die x-Richtung bewegenden Empfängers verdeutlicht wird. Der Betrag der Geschwindigkeit des Beobachters ist in beiden Abbildungen gleich, nämlich $c/5$.

Auch in den Abbildungen 6.2.2.2 und 6.2.2.3 ist klar zu sehen, dass sich die Welle mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet, da der äußere Ring einen perfekten Kreis bildet, der den bewegten Beobachter nicht früher oder später erreicht, als den ruhenden. Allerdings sind auch deutliche Unterschiede zur Abbildung 6.2.2.1 zu erkennen. So sieht man beispielsweise in beiden Abbildungen einen ausgeprägten Dopplereffekt. Auch der Dipol selbst scheint sich zu bewegen, was nicht weiter verwunderlich ist, da die Situation ja jeweils aus der Sicht eines bewegten Empfängers dargestellt wird.

Wie in den Abbildungen 6.2.2.1, 6.2.2.2 und 6.2.2.3 klar zu erkennen ist, bewegt sich die Schwingung nicht nur immer mit der gleichen Geschwindigkeit $c$, auch die Form der Schwingung bleibt erhalten. Der aufmerksame Leser mag sich fragen, was mit den Quantinos geschieht, die sich langsamer als $c$ bewegen? Sollte es nicht zu einer Verschleifung der Schwingung kommen? Tatsächlich ist das nicht so, da sich die langsameren Quantinos von ihrer Wirkung her gegenseitig neutralisieren.

Um das noch deutlicher zu zeigen, wird zum zum Abschluss ein Dipol betrachtet, bei dem die Schwingung nach genau einer Periode wieder abgeschaltet wird. Mathematisch kann man das dadurch modellieren, dass man in Gleichung (6.2.1.1) die Intervallfunktion nach oben hin mit $2\,\pi/\omega$ begrenzt. Die nachfolgende Berechnung der zugehörigen effektiven Quantinodichte ist dann bis zur Gleichung (6.2.1.8) vollkommen identisch. Erst beim Herausziehen der Intervallfunktion, d.h. bei Formel (6.2.1.9), entstehen Unterschiede, da man nun auch auf die obere Grenze achten muss.

Generell gilt für eine beliebige Funktion $f$ der Zusammenhang

$$\int\limits_{-\infty}^{\tau_c}\,f(\tau)\,\intfunc_{0}^{2\,\pi/\omega}(\tau)\,\d{\tau} = \intfunc_{0}^{2\,\pi/\omega}(\tau_c)\,\int\limits_{0}^{\tau_c}\,f(\tau)\,\d{\tau} + \intfunc_{2\,\pi/\omega}^{\infty}(\tau_c)\,\int\limits_{0}^{2\,\pi/\omega}\,f(\tau)\,\d{\tau}.$$ (6.2.2.5)
Wendet man dieses auf die Berechnung an, so folgt letztlich die effektive Gesamt-Quantinodichte
$$ p_e(t) = -\frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \frac{l\,\omega\,\vec{e}_z\,(\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert^3} \left(\intfunc_{0}^{2\,\pi/\omega}(\tau_c)\,\varrho(t,\tau_c)+ \intfunc_{2\,\pi/\omega}^{\infty}(\tau_c)\,\varrho\left(t,2\,\pi/\omega\right)\right).$$ (6.2.2.6)
Die Abbildungen 6.2.2.4 und 6.2.2.5 zeigen die zeitliche Entwicklung der Dichte, einmal aus der Sicht eines ruhenden und einmal aus der Sicht eines sich nach rechts bewegenden Empfängers. Die Parameter entsprechen den Werten, die bereits für die anderen Abbildungen verwendet wurden.

Abbildung 6.2.2.4: Die effektive Quantinodichte eines nur eine Periode lang schwingenden Dipols aus Sicht eines ruhenden Empfängers.
Abbildung 6.2.2.5: Die effektive Quantinodichte eines nur eine Periode lang schwingenden Dipols aus Sicht eines sich nach rechts bewegenden Empfängers.

Beide Abbildungen zeigen, dass sich die Schwingung tatsächlich mit Lichtgeschwindigkeit und nur mit Lichtgeschwindigkeit fortpflanzt. Von den langsameren Quantinos verbleibt lediglich eine Art langsam abklingendes Dipolfeld in unmittelbarer Nähe des Dipols.