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6 Mathematische Analysen

Die Quantinotheorie basiert auf einigen wenigen, einfachen Postulaten. Mit etwas logischem Denkvermögen kann man sich damit nach und nach die gesamte Physik anschaulich verständlich machen. Ein solch qualitatives Modell ist etwas Großartiges. Die derzeitige Standardphysik verfügt über etwas Vergleichbares nicht einmal im Ansatz. Allerdings reicht ein rein qualitatives Modell nicht aus, denn eine überzeugend wirkende und plausibel erscheinende Erklärung kann sich bei einer eingehenden mathematischen Betrachtung schnell als vollkommen haltlos herausstellen.

Die Quantinotheorie ist jedoch keineswegs nur eine Sammlung logisch erscheinender Erklärungen. Sie verfügt auch bereits über einen gewissen mathematischen Unterbau, der jedoch noch immer große Lücken aufweist. Diese sind eine Folge der enormen Komplexität und der vergleichsweise geringen Menge an Zeit, die bisher in die Theorie investiert werden konnte. Die Komplexität entsteht dabei dadurch, dass eine einzelne Einheitsladung unzählige Quantinos emittiert und wiederum unzählige Einheitsladungen ein einzelnes Elementarteilchen bilden. Trotzdem ist es möglich, erstaunlich weitreichende mathematische Analysen durchzuführen, welche zeigen, wie sich aus der Quantinotheorie die klassische Elektrodynamik und die newtonsche Mechanik ergibt.

6.1 Die Quantinodichte einer einzelnen Einheitsladung

In Abschnitt 1.1 wurden die Postulate der Quantinotheorie erläutert. Ein wichtiger Aspekt der Modellvorstellung besteht darin, dass Einheitsladungen Quantinos abstrahlen. Es wird sofort deutlich, dass die Wahrscheinlichkeit Quantinos anzutreffen von Ort zu Ort und auch mit der Zeit variiert und keinesfalls konstant ist. In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie sich diese Quantinodichte in Abhängigkeit von der Bahnkurve einer einzelnen Quantinoquelle berechnen lässt.

Im Abschnitt 1.1 wurde das grundlegende Modell der Quantinotheorie dargestellt. Insbesondere wurde hier postuliert, dass es positive und negative Einheitsladungen gibt, welche einem Zufallsschema entsprechend Quantinos emittieren. Dabei wird davon ausgegangen, dass alle Emissions-Richtungen gleichwahrscheinlich sind. Für die Emissionsgeschwindigkeit $w$ wird eine zunächst unspezifizierte Wahrscheinlichkeitsverteilung $\Gamma(w)$ angenommen, von der im Moment lediglich bekannt ist, dass die Geschwindigkeit $w=0$ nicht vorkommt. Wäre dem so, so würden sich am Ort der Einheitsladung mit der Zeit immer mehr Quantinos ansammeln. Bei einer Beschleunigung der Quelle, würde die entstandene Singularität zurückbleiben, was unphysikalisch wäre.

Um zu einer kontinuierlichen Dichteverteilung zu kommen, muss zunächst von der Tatsache abstrahiert werden, dass das Feld der Quantinos eigentlich aus einzelnen diskreten Feldquanten besteht. Diese Art der Näherung wird in der Physik sehr häufig durchgeführt; beispielsweise kann man ein Gas als ein Kontinuum ansehen und von der Tatsache abstrahieren, dass es eigentlich aus einzelnen Molekülen zusammengesetzt ist, indem man eine Dichte definiert. Das wiederum ist nichts weiter, als die Anzahl von Molekülen bezogen auf ein bestimmtes Volumen. Die Wahl des Bezugsvolumens ist natürlich willkürlich. Um sich von dieser Beliebigkeit zu befreien, wählt man das kleinstmögliche Volumen, nämlich Null. Die absolute Anzahl von Molekülen in einem Nullvolumen ist ebenfalls Null. Das Verhältnis von Anzahl zu Volumen, nämlich die Dichte, ist dies in der Regel nicht.

Abbildung 6.1.1: Die Emissionsphäre (rot) löst sich zum Zeitpunkt $\tau$ von der Quelle und bewegt sich geradlinig weiter.
Eine solche Dichte soll nun auch für das Quantinofeld angegeben werden. Zunächst überlegt man sich, dass sich ein Quantino, welches zum Zeitpunkt $\tau$ von der Quelle löst und mit der Geschwindigkeit $\vec{w}$ entfernt, zum Zeitpunkt $t > \tau$ am Ort
$$\vec{r}_q(t,\tau) = \vec{r}_s(\tau) + (\vec{w} + \dot{\vec{r}}_s(\tau))(t-\tau)$$ (6.1.1)
befindet. Dabei ist $\vec{r}_s(\tau)$ der Ort der Quelle und $\dot{\vec{r}}_s(\tau)$ deren Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $\tau$. Stellt man sich vor, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt $\tau$ weitere Quantinos in alle anderen Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit $w$ emittiert werden, so erhält man eine Sphäre, deren Radius sich mit der Geschwindigkeit $w$ vergrößert. Das Zentrum dieser Emissionssphäre bewegt sich nach folgender Gleichung
$$\vec{r}_c(t,\tau) = \vec{r}_s(\tau) + \dot{\vec{r}}_s(\tau)(t-\tau)$$ (6.1.1)
auch dann noch gleichförmig weiter, wenn sich die Geschwindigkeit der Quelle nach der Emission verändert. Dieses bedeutet insbesondere, dass sich bei beschleunigten Einheitsladungen die Emissionsphären von den Quellen lösen. Abbildung 6.1.1 verdeutlicht dies in Form einer animierten Skizze.

Mit Hilfe der Emissionsphäre (6.1.1) ist es möglich, eine Dichte $p_w$ aller Quantinos zu modellieren, die jemals von einer Einheitsladung $e$ mit einer Emissionsgeschwindigkeit $w$ emittiert wurden. Für jeden Raumpunkt $\vec{r}$ ist die Dichte zu jedem Zeitpunkt $t$ durch
$$p_w(\vec{r},w,t) = \int\limits_{-\infty}^{t} p_{\tau}(\vec{r},w,t,\tau)\,\d{\tau}$$ (6.1.2)
mit
$$p_{\tau}(\vec{r},w,t,\tau) = \frac{a_c}{4\,\pi} \Gamma(w) \frac{ \delta\left(\Vert\vec{r}-\vec{r}_c(t,\tau)\Vert- w (t-\tau)\right)}{\Vert\vec{r}-\vec{r}_c(t,\tau)\Vert^2}$$ (6.1.3)
gegeben. Sie beschreibt die Anzahl an Quantinos pro Raumvolumen und Geschwindigkeitsintervall zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$. Die Einheit ist daher $m^{-3}\,(m/s)^{-1}$. $p_{\tau}$ ist hingegen der Beitrag der während des infinitesimal kleinen Zeitintervalls $[\tau,\tau + \d{\tau}]$ zur Dichte $p_w$ beigesteuert wird. Die Einheit von $p_{\tau}$ ist demzufolge $1/m^4$. Die Funktion $\Gamma(w)$ ist hierbei die bereits erwähnte Wahrscheinlichkeitsverteilung, die jeder Emissionsgeschwindigkeit eine relative Wahrscheinlichkeit zuordnet. Da die physikalische Einheit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung immer gleich der Inversen ihres Parameters ist, folgt, dass $\Gamma(w)$ die Einheit $s/m$ besitzt. Die Dirac-Funktion muss der gleichen Logik zufolge in diesem Fall die Einheit $1/m$ aufweisen. Das bedeutet, dass noch ein zusätzlicher Parameter $a_c$ mit der Einheit $1/s$ benötigt wird. $a_c$ ist hierbei als Konstante anzusehen, welche die absolute Anzahl an Quantinos festlegt, die pro Sekunde emittiert werden. Dabei ist zu berücksichtigen, dass damit wirklich alle Quantinos gemeint sind, also auch die, die aufgrund ihrer zu hohen Geschwindigkeit nicht absorbiert werden können.

Da die Quantinodichte prinzipiell nur lokal durch einen Empfänger wahrgenommen werden kann, muss in das Bezugssystem eines solchen Empfängers transformiert werden. Zu diesem Zweck überlegt man sich zunächst, dass ein zum Zeitpunkt $\tau$ am Ort $\vec{r}_s(\tau)$ ausgesendetes Quantino aus Sicht des Empfängers die Momentangeschwindigkeit
$$u = \left\Vert\frac{\vec{r}_d(t) - \vec{r}_s(\tau)}{t-\tau} - \dot{\vec{r}}_d(t)\right\Vert$$ (6.1.4)
haben muss, wenn es diesen zum Zeitpunkt $t$ erreicht. Dabei ist $\vec{r}_d(t)$ die Bahnkurve des Empfängers und $\dot{\vec{r}}_d(t)$ seine aktuelle Geschwindigkeit im Moment des Zusammentreffens mit dem Quantino. Wenn dem Leser dieser Zusammenhang nicht gleich einsichtig erscheint, an dieser Stelle wird näher darauf eingegangen.

Wenn man nun die Dichte aller Quantinos mit der Geschwindigkeit $u$ aus Sicht eines bewegten Empfängers zum Zeitpunkt $t$ wissen möchte, so muss man Ausdruck (6.1.2) filtern, indem man schreibt
$$p_u(u,t) = \int\limits_{0}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{t} \delta\left(\left\Vert\frac{\vec{r}_d(t) - \vec{r}_s(\tau)}{t-\tau} - \dot{\vec{r}}_d(t)\right\Vert- u\right)\,p_{\tau}(\vec{r}_d(t),w,t,\tau)\,\d{\tau}\,\d{w}.$$ (6.1.5)
Die Integration über $w$ kann sofort ausgeführt werden. Man erhält
$$p_u(u,t) = \frac{a_c}{4\,\pi} \int\limits_{-\infty}^{t} \Gamma\left(\frac{\Vert\vec{r}_d(t)-\vec{r}_c(t,\tau)\Vert}{t-\tau}\right)\,\frac{\delta\left(\left\Vert\frac{\vec{r}_d(t) - \vec{r}_s(\tau)}{t-\tau} - \dot{\vec{r}}_d(t)\right\Vert - u\right)}{(t-\tau)\,\Vert\vec{r}_d(t)-\vec{r}_c(t,\tau)\Vert^2}\,\d{\tau}.$$ (6.1.6)

Zum Abschluss ist es noch erforderlich, über alle Quantinogeschwindigkeiten $u$ zu integrieren, wobei aber die Regel 4 zu berücksichtigen ist, dass die Empfängerladung nicht mit Quantinos wechselwirken kann, die aus ihrer Sicht zu schnell sind, konkret, schneller als $c$ sind. Die effektive, d.h. die subjektiv vom Empfänger wahrnehmbare, Quantinodichte lautet somit
$$p_e(t) = \int\limits_0^c \,p_u(u,t)\,\d{u} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \,\intfunc_{0}^{c}(u)\,\,p_u(u,t)\,\d{u}.$$ (6.1.7)
Die Funktion $\intfunc$ ist hierbei im Übrigen die sehr praktische Intervallfunktion.

Nach Ausführung der Integration über $u$ bleibt
$$p_e(t) = \frac{a_c}{4\,\pi} \int\limits_{-\infty}^{t} \Gamma\left(\frac{\Vert\vec{r}_d(t)-\vec{r}_c(t,\tau)\Vert}{t-\tau}\right)\,\frac{\intfunc_{0}^{c}\left(\left\Vert\frac{\vec{r}_d(t) - \vec{r}_s(\tau)}{t-\tau} - \dot{\vec{r}}_d(t)\right\Vert\right)}{(t-\tau)\,\Vert\vec{r}_d(t)-\vec{r}_c(t,\tau)\Vert^2}\,\d{\tau}.$$ (6.1.8)
Die effektive Quantinodichte hängt nur noch von $t$ ab und beschreibt die Anzahl an Quantinos, die vom Empfänger in einem sehr kleinen Volumenelement im Bereich seines eigenen Standortes zum Zeitpunkt $t$ wahrgenommen werden kann. Sie gilt sowohl für beliebig bewegte, insbesondere auch beschleunigte Quellen, als auch für beliebig bewegte, beschleunigte Empfänger.

Unter der vereinfachenden Annahme, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung $\Gamma(w)$ im Bereich bis zur Lichtgeschwindigkeit und knapp darüber hinaus näherungsweise linear ist, vereinfacht sich die effektive Quantinodichte zu
$$p_e(t) = \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \int\limits_{-\infty}^{t} \frac{\intfunc_{0}^{c}\left(\left\Vert\frac{\vec{r}_d(t) - \vec{r}_s(\tau)}{t-\tau} - \dot{\vec{r}}_d(t)\right\Vert\right)}{(t-\tau)^2\,\Vert\vec{r}_d(t)-\vec{r}_c(t,\tau)\Vert}\,\d{\tau},$$ (6.1.9)
da hier
$$\Gamma(w) \approx \Gamma_1\,w$$ (6.1.10)
ist. Für prinzipielle Betrachtungen reicht das zunächst aus.