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4.3 Die De-Broglie-Wellenlänge

Fassen wir zusammen: Wir wissen, dass eine sogenannte Materiewelle wahrscheinlich nichts weiter ist, als eine klassische elektromagnetische Welle, in die klassische, aus elektrischer (Einheits-)Ladung bestehende Partikel eingebettet sind. Die elektromagnetische Welle beeinflusst die Partikel, während die Partikel die elektromagnetische Welle beeinflussen. Besonders beeindruckend ist dieser Effekt beim Doppelspalt, wo die elektromagnetische Welle mit sich selbst interferiert. Die dabei entstehenden räumlich inhomogenen Intensitäten führen zu ponderomotorischen Kräften, die dann auf die Teilchenbahnen der eingebetteten Partikel einwirken, wodurch letztendlich die bekannten Teilcheninterferenzmuster entstehen.

Die Quantenmechanik ist damit aber noch nicht vollständig verstanden, denn es ist immer noch unklar, wie die elektromagnetische Führungswelle entsteht und weshalb ihre Wellenlänge umgekehrt proportional zum Impuls der eingebetteten Teilchen ist. Aber auch das lässt sich mit dem Dipolansatz überraschend einfach erklären.

Abbildung 4.3.1: Bei einem harmonischen Oszillator ist nicht die Frequenz, sondern nur die Amplitude von der Feldstärke abhängig.
Betrachten wir dazu zunächst einen elektrisch neutralen Dipol in einem zeitlich konstanten, homogenen elektrischen Feld, wobei die Kraft, welche den Dipol zusammenhält, zunächst harmonisch sein soll. Die Simulation 4.3.1 zeigt, dass ein Dipol in einem homogenen elektrischen Feld oszilliert. Diese Schwingung hält solange an, bis der Dipol die Energie auf andere Dipole außerhalb des elektrischen Feldes übertragen hat. Dieses benötigt einige Zeit und soll an dieser Stelle auch nicht im Zentrum der Betrachtungen stehen. Es ist vielmehr wichtig zu verstehen, dass die Schwingungsfrequenz des Dipols im Falle einer harmonischen Koppelkraft immer gleich ist. Nur die Amplitude der Ladungsauslenkung erhöht sich mit zunehmender Feldstärke. Man kann daraus schlussfolgern, dass die Koppelkraft zwischen den Einheitsladungen im Inneren von Elementarteilchen keinesfalls harmonisch sein kann.

Abbildung 4.3.2: Bei einem Rassel-Oszillator ist nicht die Amplitude, sondern nur die Frequenz von der Feldstärke abhängig.
Wie aber muss die Kraft beschaffen sein, welche die Einheitsladungen in den Dipolen zusammenhält? Schaut man sich die Postulate der Quantinotheorie genau an, so erkennt man, dass zwischen Einheitsladungen keinerlei Kräfte wirken, wenn sich diese nur nah genug beieinander befinden. Die übliche $1/r^2$-Gesetzmäßigkeit kann also für sehr kleine Abstände nicht korrekt sein. Es ist daher naheliegend anzunehmen, dass Einheitsladungen, welche sich sehr dicht beieinander befinden, keine Kräfte aufeinander ausüben aber eine beinahe perfekt reflektierende "Wand" wahrnehmen, wenn sie einen bestimmten Abstand erreichen. Die Einheitsladungen sind also quasi wie in einem Kasten eingesperrt. Der Oszillator ähnelt damit einer Rassel, in welcher die Einheitsladungen wie Kugeln frei beweglich sind und sich sogar gegenseitig nicht beeinflussen.

Wie verhält sich nun ein solcher "Rassel-Oszillator" wenn man ihn in ein elektrisches Feld bringt? Die Simulation 4.3.2 verdeutlicht es. Was auf den ersten Blick auffällt ist, dass die Frequenz des Oszillators mit der Feldstärke zunimmt. Die Amplitude bleibt jedoch gleich, da die Einheitsladungen den Kasten nicht verlassen können. Mathematische Berechnungen zeigen nun, dass die Frequenz beim Rassel-Oszillator proportional zur Wurzel der Feldstärke ist.

Abbildung 4.3.3: Ein schwingender Dipol bettet sich selbst in eine Quantinowelle ein, die sich immer mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Ihre Wellenlänge bestimmt den Abstand der Interferenzstreifen beim Doppelspaltexperiment.
Ein oszillierender Dipol strahlt nun aber eine Quantinowelle ab, wie sie in Abbildung 4.3.3 dargestellt ist. Deren Wellenlänge entspricht der Ausbreitungsgeschwindigkeit - also Lichtgeschwindigkeit - geteilt durch die Frequenz des Dipols. Das heißt, die Wellenlänge ist umgekehrt proportional zur Wurzel der Feldstärke. Proportional zur Wurzel der Feldstärke ist aber auch der Zuwachs an Impuls, den ein elektrisch geladenes Teilchen erfährt, wenn es in einem Bereich mit einem homogenen elektrischen Feld beschleunigt wird. Für diesen Fall ist also die Wellenlänge der Quantinowelle umgekehrt proportional zum Impuls des eingebetteten Teilchens, was der De-Broglie-Beziehung entspricht. Da die Quantinowelle durch die Photonen im umgebenden Raum in eine elektromagnetische Welle transformiert wird, befindet sich das bewegte Teilchen immer in einer Art selbst generierter Führungswelle, die dann am Doppelspalt interferiert und durch die ponderomotorische Kraft das darin befindliche Teilchen beeinflusst.

Abbildung 4.3.4: Elektronenkanone: Die Schwingung der Einheitsladungen im Elektron entsteht durch die Beschleunigungsspannung.
Das Bild wird nun klarer. Betrachten wir ein typisches Elektroneninterferenzexperiment. Abbildung 4.3.4 verdeutlicht den Beschleunigungsvorgang. Wie zu sehen ist, wird das Elektron (ein nichtneutraler elektrischer Dipol) durch das konstante elektrische Feld zwischen dem Loch des Wehneltzylinders und der Anodenblende nicht nur beschleunigt, sondern auch zum Schwingen angeregt. Nach dem Passieren des Loches der Anodenblende ist das Elektron ein freies Teilchen. Die Wellenlänge der abgestrahlten Führungswelle ist, wie zuvor beschrieben, umgekehrt proportional zur Wurzel der Feldstärke zwischen Anodenblende und Wehneltzylinder und damit gleichzeitig umkehrt proportional zum Impuls des Elektrons. Vervierfacht man also die Beschleunigungsspannung, die hier direkt proportional zur Feldstärke ist, so halbiert man die Wellenlänge und damit die Abstände der Interferenzstreifen. Dies entspricht genau den Ergebnissen des Experiments.