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3.2 Die träge Masse

Die Tatsache, dass sich die schwere Masse als Effekt der elektrischen Kraft erklären lässt, führt automatisch zu der Frage, wodurch die träge Masse entsteht und weshalb diese - zumindest bei normaler, ungeladener und langsamer Materie - zur schweren Masse äquivalent ist. Es wird dem Leser sicher bereits aufgefallen sein, dass eine Ladung, sofern sie beschleunigt wird, mit ihren selbst emittierten Quantinos in Wechselwirkung treten muss.

Abbildung 3.2.1: Die Quelle emittiert mit gleichbleibender Rate Quantinos (hier beispielhaft durch Quantinoringe einer einzelnen Quantinogeschwindigkeit dargestellt). Da die Quelle beschleunigt wird, holt sie ihre eigenen Quantinos wieder ein. Es entsteht eine Selbstwechselwirkung, also eine Kraft, die der Beschleunigung entgegengerichtet ist.
Die nebenstehende Abbildung 3.2.1 zeigt dieses anhand einer Skizze. Wie zu erkennen ist, ändert eine Beschleunigung der Ladung die relative Geschwindigkeit zu zuvor ausgesendeten Quantinos. Dieses führt dazu, dass der Ladung ein kleiner Teil der ausgesendeten Quantinos wieder entgegen kommt und schließlich sogar reabsorbiert wird. Da allerdings jedes Absorbieren eines Quantinos mit einer Kraftwirkung verbunden ist, muss demzufolge auf eine beschleunigte elektrische Ladung eine Kraft wirken. Weiterhin ist klar, dass diese Kraft der Beschleunigungsrichtung genau entgegengesetzt gerichtet ist, da die reabsorbierten Quantinos einerseits immer das gleiche Vorzeichen haben, wie die Ladung selbst und anderseits genau aus der Richtung zu kommen scheinen, in die beschleunigt wird.

Es lässt sich also folgendes festhalten: Jede beschleunigte elektrische Ladung erfährt eine Kraft, die der Beschleunigung genau entgegen gerichtet ist. Zunächst soll diese durch rein qualitative Überlegungen gewonnene Erkenntnis quantitativ konkretisiert werden, bevor im Anschluss das zweite newtonsche Axiom hergeleitet wird, welches eine vergleichbare Aussage für Massen macht.

Das die Trägheit auf die elektrische Kraft zurückgeführt werden könnte, wurde im Übrigen bereits vor mehr als einhundert Jahren vermutet und vor allem von Max Abraham untersucht. Da dieser aber noch mit den Maxwell-Gleichungen arbeiten musste und noch nicht über den Begriff des Quantinodruckes verfügte, blieben die Versuche letztendlich erfolglos.

3.2.1 Der Quantinoeigendruck

Bei der Selbstwechselwirkung ist die Quelle und der Empfänger der Quantinos identisch und es gilt $\vec{r}_s(t) = \vec{r}_d(t) := \vec{r}(t)$. Der Einfachheit halber wird im Nachfolgenden davon ausgegangen, dass die Bewegungsrichtung der Ladung immer parallel zum Einheitsvektor $\vec{e}_r$ ist. Es gilt dann $\vec{r}(t) = \vec{e}_r\,r(t)$.

Damit folgt aus Formel (1.3.1), dass sich das Zentrum eines zum Zeitpunkt $\tau$ emittierten Quantinoringes zum Zeitpunkt $t$ am Ort
$$r_c(t,\tau) = \vec{e}_r\,r(\tau) + \vec{e}_r\,\dot{r}(\tau)(t-\tau).$$ (3.2.1.1)
befindet. Einsetzen in die Gleichung des Energievektors (2.1.7) ergibt
$$\vec{\mathcal{E}}_e = \vec{e}_r\,E_e\,\frac{r(t)-r_c(t,\tau)}{\vert r(t)-r_c(t,\tau)\vert}\,\sgn\left((r(t)-r_c(t,\tau))\cdot\left(\frac{r(t)-r(\tau)}{t-\tau}-\dot{r}(t)\right)\right).$$ (3.2.1.2)
Wegen Gleichung (2.1.6) und wegen der mathematischen Äquivalenzen $\sgn(a \cdot b) = \sgn(a)\cdot\sgn(b)$ und $1/\vert a\vert\cdot\sgn(a) = 1/a$ ist dieses jedoch gleich
$$\vec{\mathcal{E}}_e = \vec{e}_r\,\frac{1}{2}\mathcal{m}_{pho}\,\left(\overline{v}(t,\tau)-v(t)\right)^2\,\sgn\left(\overline{v}(t,\tau)-v(t)\right)$$ (3.2.1.3)
wobei
$$v(t) = \dot{r}(t)$$ (3.2.1.4)
die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ und
$$\overline{v}(t,\tau) = \frac{1}{t-\tau} \int\limits_{\tau}^{t} v(T)\,\d{T} = \frac{r(t)-r(\tau)}{t-\tau}$$ (3.2.1.5)
die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall von $\tau$ bis $t$ ist.

Für die Berechnung des Quantinodruckes (2.1.8) ist es erforderlich, die Quantinodichte zu berechnen. Nach Formel (1.3.3) gilt unter Verwendung der Formeln (3.2.1.1), (3.2.1.3), (3.2.1.5) und (3.2.1.4)
$$p_{\tau}(\vec{r}_d(t),w,t,\tau) = \frac{a_c}{4\,\pi} \Gamma(w) \frac{ \delta\left((t-\tau)\left(\vert\overline{v}(t,\tau) - v(\tau)\vert - w\right)\right)}{\left\vert\overline{v}(t,\tau) - v(\tau)\right\vert^2\,(t-\tau)^2}.$$ (3.2.1.6)
Würde man die nachfolgenden Berechnungen mit diesem Ausdruck durchführen, so erhielte man letztlich eine Formel, bei der die Kraft proportional zum Quadrat der Beschleunigung ist. Dieser offensichtliche Widerspruch lässt sich auflösen, indem man sich überlegt, dass die Quantinodichte in unmittelbarer Nähe der emittierenden Ladung $q$ nicht zwangsläufig mit dem Quadrat des Abstandes $r = \left\vert\overline{v}(t,\tau) - v(\tau)\right\vert\,(t-\tau)$ abnehmen muss. Es könnte stattdessen auch ein Zusammenhang der Form
$$p_{\tau}\cdot\left(1-\exp\left(-\frac{r}{(\vert q\vert/e)\,R_e}\right)\right) \approx p_{\tau}\cdot\frac{e\,r}{\vert q\vert\,R_e}$$ (3.2.1.7)
gelten, wobei $R_e$ ein unbekannter Modellparameter ist.

Die Grundidee hinter dieser ad-hoc-Hypothese (3.2.1.7) besteht darin, dass eine Quantino-emittierende Ladung niemals vollständig ruht, sondern aufgrund der Impulserhaltung bei jeder Emission eines Quantinos einen Rückstoß erfährt. Durch diesen Rückstoß wird die Ladung in ihrer eigenes Quantinofeld gedrückt, was wiederum zu Impulsänderungen führt. Die Ladung wird daher permanente Zitterbewegungen ausführen und langsame Quantinos aus ihrer Umgebung absaugen. Der Wirkungsbereich dieses Effektes sollte proportional zum Wirkungsradius $R_e$ sein. Formel (3.2.1.7) bringt dieses modellhaft zum Ausdruck.

Mit der Hypothese (3.2.1.7) folgt für die Quantinodichte der nur für sehr kurze Abstände geltende Zusammenhang
$$\tilde{p}_{\tau}(\vec{r}_d(t),w,t,\tau) = \frac{a_c\,e}{4\,\pi\,\vert q\vert\,R_e} \Gamma(w) \frac{ \delta\left((t-\tau)\left(\vert\overline{v}(t,\tau) - v(\tau)\vert - w\right)\right)}{\left\vert\overline{v}(t,\tau) - v(\tau)\right\vert\,(t-\tau)}.$$ (3.2.1.8)
Setzt man dieses in die Formel des Quantinodruckes (2.1.8) ein, so erhält man unter Verwendung der Gleichung (3.2.1.3) und nach Ausführung der Integration bezüglich $w$ die Beziehung
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \vec{e}_r\,\mathcal{m}_{pho}\,\frac{a_c\,e}{8\,\pi\,\vert q\vert\,R_e}\int\limits_{-\infty}^{t} \intfunc_0^c\left(\vert\overline{v}(t,\tau)-v(t)\vert\right)\frac{\Gamma\left(\vert\overline{v}(t,\tau) - v(\tau)\vert\right)\left(\overline{v}(t,\tau)-v(t)\right)}{(t-\tau)^{2}}\d{\tau}.$$ (3.2.1.9)

Das komplizierte Integral (3.2.1.9) lässt sich näherungsweise lösen, indem man sich überlegt, dass für Zeiten $t$, die nur wenig größer sind als $\tau$ der Zusammenhang
$$\overline{v}(t,\tau) \approx \frac{1}{2}\left(v(t)+v(\tau)\right)$$ (3.2.1.10)
besteht. Daraus folgt dann
$$\overline{v}(t,\tau) - v(t) \approx -\frac{1}{2}\,\frac{v(t)-v(\tau)}{t-\tau}\,(t-\tau) \approx -\frac{1}{2}\,a(t)\,(t-\tau)$$ (3.2.1.11)
und
$$\overline{v}(t,\tau) - v(\tau) \approx \frac{1}{2}\,\frac{v(t)-v(\tau)}{t-\tau}\,(t-\tau) \approx \frac{1}{2}\,a(t)\,(t-\tau)$$ (3.2.1.12)
mit der Beschleunigung $a(t) = \dot{v}(t)$. Damit gilt dann näherungsweise
$$\begin{eqnarray}\vec{\mathcal{P}}_e & \approx & -\vec{e}_r\,\mathcal{m}_{pho}\,\frac{a_c\,e}{8\,\pi\,\vert q\vert\,R_e}\,\int\limits_{-\infty}^{t} \,\intfunc_0^c\left(\left\vert \frac{1}{2}\,a(t)\,(t-\tau) \right\vert\right)\,\cdot \\ & & \frac{\Gamma\left(\left\vert \frac{1}{2}\,a(t)\,(t-\tau) \right\vert\right)\,\left(\frac{1}{2}\,a(t)\,(t-\tau)\right)}{(t-\tau)^{2}}\,\d{\tau}.\end{eqnarray}$$ (3.2.1.13)
Substituiert man nun noch $1/2\,\vert a(t)\vert\,(t-\tau)$ mit $u$, so erhält man
$$\vec{\mathcal{P}}_e \approx -\vec{e}_r\,\mathcal{m}_{pho}\,\frac{a_c\,e}{8\,\pi\,\vert q\vert\,R_e}\,\int\limits_{\infty}^{0} \,\intfunc_0^c\left(u\right)\,\frac{\Gamma\left(u\right)\,u}{\left(\frac{4\,u^2}{a(t)^2}\right)}\,\left(-\frac{2}{\vert a(t)\vert}\right)\d{\tau},$$ (3.2.1.14)
was zusammengefasst
$$\vec{\mathcal{P}}_e \approx -\vec{e}_r\,\frac{\mathcal{m}_{pho}\,a_c\,e\,\Gamma_s}{16\,\pi\,\vert q\vert\,R_e}\,a(t)$$ (3.2.1.15)
mit
$$\Gamma_s := \int\limits_{0}^{c}\,\frac{\Gamma\left(u\right)}{u}\,\d{u}$$ (3.2.1.16)
ergibt.

Zum Abschluss wird noch die Formel (2.2.2.3) verwendet, welche den Quantinodruck mit der Kraft in Beziehung setzt. Hierbei gilt natürlich $q_d = q_s = q$. Man erhält die Eigenkraft
$$\vec{F}_i \approx -\vec{e}_r\,\frac{\mathcal{m}_{pho}\,a_c\,\Gamma_s\,\sigma_e}{16\,\pi\,e\,R_e}\,\vert q\vert \cdot a(t),$$ (3.2.1.17)
d.h. die Kraft, die eine Ladung $q$ auf sich selbst ausübt, wenn sie mit $a(t)$ beschleunigt wird.

Wie zu sehen ist, ist die Eigenkraft $F_i$ der Beschleunigung $a$ grundsätzlich entgegen gerichtet. Eine Beschleunigung entsteht aber immer durch die Wirkung einer äußeren Kraft $F_e$. Es wird nun angenommen, dass jede äußere Kraft für sich allein genommen zu einer praktisch unendlich großen Beschleunigung führen würde. Mathematisch lässt sich das durch die Gleichung
$$a = \lim\limits_{\epsilon\to 0}\,\frac{1}{\epsilon}F_e$$ (3.2.1.18)
modellieren. Da der äußeren Kraft $F_e$ jedoch die zur Beschleunigung $a$ proportionale Eigenkraft $F_i$ entgegenwirkt, gilt letztlich
$$a = \lim\limits_{\epsilon\to 0}\,\frac{1}{\epsilon}(F_e + F_i) = \lim\limits_{\epsilon\to 0}\,\frac{1}{\epsilon}\left(F_e - \frac{\mathcal{m}_{pho}\,a_c\,\Gamma_s\,\sigma_e}{16\,\pi\,e\,R_e}\,\vert q\vert\,a\right).$$ (3.2.1.19)
Multipliziert man beide Seiten mit $\epsilon$ so erhält man
$$\lim\limits_{\epsilon\to 0}\,\epsilon\,a = \left(F_e - \frac{\mathcal{m}_{pho}\,a_c\,\Gamma_s\,\sigma_e}{16\,\pi\,e\,R_e}\,\vert q\vert\,a\right).$$ (3.2.1.20)
Da die linke Seite Null ergibt folgt schließlich,
$$F_e = \frac{\mathcal{m}_{pho}\,a_c\,\Gamma_s\,\sigma_e}{16\,\pi\,e\,R_e}\,\vert q\vert\,a,$$ (3.2.1.21)
d.h. die resultierende Beschleunigung ist endlich und zur äußeren Kraft proportional.

Die Gleichung (3.2.1.21) ähnelt dem zweiten newtonschen Gesetz bereits sehr deutlich. Anstelle der Masse befindet sich jedoch eine Proportionalitätskonstante die mit einer Ladungsmenge $\vert q\vert$ multipliziert wird. Es ist äußerst wichtig darauf hinzuweisen, dass in Gleichung (3.2.1.21) an keiner Stelle eine schwere Masse auftritt und sie daher sogar für masselose, aber geladene Elementarteilchen gelten würde!

Bisher sind keine masselosen, geladenen Teilchen bekannt. Das ist allerdings kein Widerspruch, denn in Abschnitt 3.1.2 wurde gezeigt, dass Masse keine unabhängige Eigenschaft darstellt, sondern erst durch einen Unterschied in der Varianz der Geschwindigkeiten zweier an einem Punkt konzentrierten Ladungsmengen entsteht. Außerdem führen Ladungen grundsätzlich eine Nullpunktbewegung durch, die durch die Emission der Quantinos induziert wird. Diese Nullpunktbewegung besitzt eine Varianz, welche bei einer nackten Elementarladung zwangsläufig zu einer schweren Masse führt (Eine der Varianzen ist Null, die andere hingegen nicht). Unter diesem Blickwinkel betrachtet wird klar, dass das zweite newtonsche Gesetz einen Spezialfall der Gleichung (3.2.1.21) darstellt. Die genauen Zusammenhänge werden im nachfolgenden Abschnitt 3.2.2 ausgearbeitet.