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3 Gravitation und newtonsche Mechanik

Es wurde bereits einige Male erwähnt, dass es zwischen der elektrischen Kraft und der Gravitation einen direkten, bislang unerkannt gebliebenen Zusammenhang gibt. Abschnitt 3.1 wird diesen erläutern und offenlegen. Dabei wird sich zeigen, dass die Schwerkraft keine eigenständige Kraft darstellt, sondern genau wie der Magnetismus daraus resultiert, dass elektrische Ladungen nicht in der Lage sind mit zu schnellen Quantinos wechselzuwirken.

Abschnitt 3.2 befasst sich dann mit der Trägheit und der Frage, wie das zweite newtonsche Gesetz aus den erstaunlich einfachen Postulaten der Quantinotheorie folgt. Weiterhin wird auf das Äquivalenzprinzip zwischen schwerer und träger Masse eingegangen.

3.1 Die schwere Masse

3.1.1 Was ist Masse?

Abbildung 3.1.1.1: Wie müssen die beiden Ladungsmengen gewichtet werden, damit das Objekt nach außen hin neutral erscheint?
Der Leser möge sich ein Objekt vorstellen, bei dem sich eine bestimmte Menge elektrisch positiver Ladung und eine bestimmte Menge elektrisch negativer Ladung am gleichen Ort aufhält. Beide Ladungsmengen sollen sich dabei in der Art eines Gases oder Plasmas in permanenter Bewegung befinden. Der Mittelwert der Geschwindigkeitsverteilung sei dabei bei beiden Ladungsmengen Null. Die Varianzen $\sigma_p^2$ und $\sigma_n^2$ sollen sich hingegen unterscheiden. Die Fragestellung die hier zunächst untersucht werden wird ist die, ob beide Ladungsmengen gleich groß zu sein haben, damit das Objekt nach außen hin elektrisch neutral ist. Abbildung 3.1.1.1 verdeutlicht das gedankliche Modell anhand einer Skizze, wobei im dargestellten Fall die Varianz der positiven Ladungsmenge sehr viel kleiner ist, als die der negativen.

Damit ein solches Objekt nach außen hin neutral erscheint, muss die resultierende Kraft auf eine Probeladung $q_d$ verschwinden. Ganz offensichtlich besteht die Gesamtkraft eines dieser Objekte auf eine Probeladung aus zwei Teilkomponenten, nämlich aus
  1. der Kraft der positiven Ladungswolke, sowie
  2. der Kraft der negativen Ladungswolke.
Die Berechnung der Teilkräfte kann, allerdings nur in nichtrelativistischer Näherung, anhand des verallgemeinerten Coulombgesetzes (2.2.3.10) erfolgen. Dazu muss die Kraft einer jeden möglichen Geschwindigkeit entsprechend der Häufigkeitsverteilung gewichtet aufintegriert werden.

Es soll im Weiteren davon ausgegangen werden, dass die Geschwindigkeiten $\vec{u}$ in den Ladungswolken gaußverteilt sind. Weiterhin wird stochastische Unabhängigkeit der Raumrichtungen angenommen. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat die Form
$$p(\vec{u},\sigma) = g(\vec{u},\sigma) = g(u_x,\sigma)\cdot g(u_y,\sigma)\cdot g(u_z,\sigma)$$ (3.1.1.1)
wobei $g(u,\sigma)$ für die Gaußfunktion
$$g(u,\sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\,\pi\,\sigma^2}}\,\exp\left(-\frac{u^2}{2\,\sigma^2}\right)$$ (3.1.1.2)
und der Parameter $\sigma^2$ für die Varianz bzw. $\sigma$ für die Standardabweichung steht.

Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung (3.1.1.1) lässt sich die Formel (2.2.3.10) so verallgemeinern, dass sie auch für ortsunveränderliche Ladungswolken gültig wird. Grundsätzlich gilt für die Kraft $\vec{F}_t(\sigma,q_s,q_d)$ einer Quellladungswolke mit der Gesamtladung $q_s$ und der Geschwindigkeits-Standardabweichung $\sigma$ auf eine am Ort $\vec{r}$ befindliche Zielladung $q_d$ mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ der Zusammenhang
$$\vec{F}_t(\sigma,q_s,q_d) = \iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\,\vec{F}(\vec{r},\vec{u}-\vec{v})\,p(\vec{u},\sigma)\,\d{\vec{u}}.$$ (3.1.1.3)
Ein Einsetzen der Formeln (3.1.1.1) und (2.2.3.10) liefert nach Ausführung der Integration die Kraft
$$\vec{F}_t(\sigma,q_s,q_d) = \frac{\mu_0\,q_d\,q_s}{4\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\left((c^2 + v^2) - \frac{3}{2}\left(\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right)^2 - \sigma^2\right)\right)$$ (3.1.1.4)
einer im zeitlichen Mittel ruhenden Ladungswolke der Gesamtladung $q_s$ und der Geschwindigkeitsvarianz $\sigma^2$ auf eine sich mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ bewegenden Punktladung $q_d$.

Mit Hilfe von Gleichung (3.1.1.4) ist man in der Lage, die am Anfang dieses Abschnittes gestellte Frage mit Nein zu beantworten: Das Modellobjekt ist offenbar nicht neutral, wenn der Betrag der positiven Ladung $q_p$ exakt dem Betrag der negativen Ladung $q_n$ entspricht. Stattdessen muss gelten
$$q_p = \frac{2\,c^2 + 3\,\sigma_n^2}{2\,c^2 + 3\,\sigma_p^2}\,(-q_n)$$ (3.1.1.5)
denn die Gesamtkraft
$$\frac{\mu_0\,q_d\,q_p}{4\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\left(c^2 + \frac{3}{2}\,\sigma_p^2\right) + \frac{\mu_0\,q_d\,q_n}{4\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\left(c^2 + \frac{3}{2}\,\sigma_n^2\right)\,\stackrel{!}{=}\,0$$ (3.1.1.6)
auf eine ruhende Probeladung $q_d$ hat zu verschwinden. Und das ist für umgekehrt gleiche große Ladungen nur dann möglich, wenn auch die Varianzen $\sigma_p^2$ und $\sigma_n^2$ gleich groß sind, was aber nach Voraussetzung nicht erfüllt ist.

Definiert man die Gesamtladungsmenge $Q$ durch
$$Q := \vert q_n\vert + \vert q_p\vert = -q_n + q_p,$$ (3.1.1.7)
so folgen aus Gleichung (3.1.1.5) die Beziehungen
$$q_n = -\frac{2\,c^2 + 3\,\sigma_p^2}{4\,c^2 + 3\,(\sigma_n^2 + \sigma_p^2)}\,Q$$ (3.1.1.8)
bzw.
$$q_p = +\frac{2\,c^2 + 3\,\sigma_n^2}{4\,c^2 + 3\,(\sigma_n^2 + \sigma_p^2)}\,Q.$$ (3.1.1.9)

Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, dass sich solche Objekte immer gegenseitig anziehen, obwohl sie von ihrer Wirkung her elektrisch neutral sind.