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3 Predictions and effects

3.1 Magnetostatic induction: Generation of static electric fields by rotating static magnetic fields*

Magnetfelder, die von Gleichströmen in ruhenden Leiterschleifen generiert werden erzeugen keine messbaren statischen elektrischen Felder. Es ist jedoch möglich, die Quellen von statischen Magnetfeldern so zu bewegen, dass sich die Magnetfelder selbst zeitlich nicht verändern. Sie bleiben damit statisch. Die Quantinotheorie sagt hier die Entstehung eines zusätzlichen elektrostatischen Feldes vorher, welches der klassischen Elektrodynamik zufolge nicht existieren dürfte. In diesem Abschnitt wird ein entsprechendes Experiment beschrieben und durchkalkuliert. Dabei zeigt sich, dass der Effekt so klein sein sollte, dass er sich nicht mit einfachen Mitteln nachweisen lässt. Gleichwohl wird aber auch deutlich, dass der Nachweis in einem gut ausgestatteten Labor gelingen könnte.

Figure 3.1.1: Skizze der Versuchsanordnung
In der Quantinotheorie erzeugt ein stromdurchflossener Draht nur dann nicht eine Kraft auf eine ruhende Probeladung, wenn der elektrische Strom aus der Perspektive der Probeladung zu gleichen Teilen aus positiven und negativen Ladungsträgern zusammengesetzt ist. In Metalldrähten die im Laborsystem ruhen ist dies zwar nicht der Fall, aber die Driftgeschwindigkeit der Elektronen ist hier so klein, dass es in sehr guter Näherung möglich ist anzunehmen, dass sich die Elektronen mit halber Driftgeschwindigkeit in Gegenstromrichtung und die Atomrümpfe mit halber Driftgeschwindigkeit in die Stromrichtung bewegen. Ein solches Paar aus Elektron und Atomrumpf bildet ein Stromelement. Die Kraft eines Stromelementes auf eine Probeladung berechnet sich in der klassischen Physik nach Gleichung (2.1.2.3) und in der Quantinotheorie nach Formel (2.2.2.4) .

Wenn sich Metalldrähte jedoch in Strom- oder Gegenstromrichtung bewegen gilt diese Näherung nicht mehr. Um die Kraft eines bewegten Stroms auf eine ruhende Probeladung zu berechnen, wird der Strom in der Wicklung einer einzelnen Leiterschleife der Spule durch zwei unterschiedlich schnell rotierende, homogen geladene Ringe in der x-y-Ebene mit dem Durchmesser $d$ modelliert. Die Kraft $\vec{F}_q$ eines Ringes auf eine Probeladung am Ort $\vec{r} = (0,0,-r)$ berechnet sich durch Integration entlang des Ringes und es gilt
$$\vec{F}_q = \int\limits_{0}^{2\,\pi} \vec{F}_{R}\left(\vec{r} - \vec{s}(\varphi),\vec{u}(\varphi)\right)\,\mathrm{d}\varphi$$ (3.1.1)
mit dem Ortsvektor der Ringelemente
$$\vec{s}(\varphi) = \frac{d}{2}\,\left(\begin{array}{c}\cos(\varphi) \\ \sin(\varphi) \\ 0\end{array}\right)$$ (3.1.2)
und dem Geschwindigkeitsvektor der Ringelemente
$$\vec{u}(\varphi) = v\,\left(\begin{array}{c}-\sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \\ 0\end{array}\right).$$ (3.1.3)
$\vec{F}_R$ ist hierbei die Kraft einer einzelnen Punktladung auf eine andere Punktladung. In der Quantinotheorie gilt für diese Kraft die Gleichung (2.2.1.4). $v$ steht für die Geschwindigkeit der sich bewegenden Ladungsträger im Ring.

Durch Einsetzen aller Größen und Zusammenfassen folgt
$$\vec{F}_q = \int\limits_{0}^{2\,\pi} \frac{q_d\,q_s\,d\,(c^2 + v^2)}{\pi\,\varepsilon_0\,c^2\,\sqrt{d^2 + 4\,r^2}^3}\,\left(\begin{array}{c}-\cos(\varphi) \\ -\sin(\varphi) \\ -\frac{2\,r}{d}\end{array}\right)\,\mathrm{d}\varphi.$$ (3.1.4)
Dieses Integral lässt sich ohne Probleme lösen. Man erhält
$$\vec{F}_q = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -\frac{4\,q_d\,q_s\,r\,(c^2 + v^2)}{\varepsilon_0\,c^2\,\sqrt{d^2 + 4\,r^2}^3}\end{array}\right),$$ (3.1.5)
also die Kraft eines elektrisch geladenen Ringes mit dem Durchmesser $d$ und der Gesamtladung $q_s$ auf eine Probeladung $q_d$ im Abstand $r$ unterhalb des Ringes auf der Rotationsachse.

Ein elektrischer Strom in einem Metalldraht besteht aus zwei gleich großen Ladungsmengen, wobei sich die negative Ladungsmenge bestehend aus Elektronen mit einer Driftgeschwindigkeit $v_d$ bewegt. Dreht sich nun die gesamte Leiterschleife, so kommt zu dieser Driftgeschwindigkeit noch die Bahngeschwindigkeit $v$. Addiert man zu dieser Kraft des negativ geladenen Ringes noch die Kraft des positiv geladenen Ringes der Atomrümpfe, so folgt eine Gesamtkraft in z-Richtung von
$$\begin{eqnarray}F & = & -\frac{4\,q_d\,q_s\,r\,\left(c^2 + (v+v_d)^2\right)}{\varepsilon_0\,c^2\,\sqrt{d^2 + 4\,r^2}^3} + \frac{4\,q_d\,q_s\,r\,(c^2 + v^2)}{\varepsilon_0\,c^2\,\sqrt{d^2 + 4\,r^2}^3} \\ & = & -\frac{4\,q_d\,q_s\,r\,v_d\,(2\,v + v_d)}{c^2\,\varepsilon_0\,\sqrt{d^2 + 4\,r^2}^3}.\end{eqnarray}$$ (3.1.6)
Da die Driftgeschwindigkeit der Elektronen vom Betrag her klein gegenüber $v$ ist, kann dies noch weiter vereinfacht werden. Durch Reihenentwicklung nach $v_d$ und Abbruch nach dem ersten Glied folgt die Näherung
$$F \approx -\frac{8\,q_d\,q_s\,r\,v_d\,v}{c^2\,\varepsilon_0\,\sqrt{d^2 + 4\,r^2}^3}.$$ (3.1.7)
An dieser Stelle stören nun noch die unbekannten Parameter $q_s$, $q_d$ und $v_d$. Die Zielladung $q_d$ entfällt, wenn man statt der Kraft die ohnehin besser messbare elektrische Feldstärke
$$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_d}$$ (3.1.8)
verwendet. Für die Elektronendriftgeschwindigkeit $v_d$ gilt hingegen die Beziehung
$$v_d = \frac{I}{q_s}\,\pi\,d.$$ (3.1.9)
Setzt man dies in die Gleichung (3.1.7) ein, so folgt unter Verwendung der Formel (3.1.8)
$$E = -\frac{8\,d\,I\,\pi\,r\,v}{c^2\,\varepsilon_0\,\sqrt{d^2 + 4\,r^2}^3}.$$ (3.1.10)
Wie man erkennt, hat sich durch das Einsetzen von $v_d$ die Ladung $q_s$ herausgekürzt. Zum Abschluss kann man sich noch überlegen, dass die elektrische Feldstärke $E$ für $r = \pm \frac{d}{2\,\sqrt{2}} \approx 0.35\,d$ maximal wird. Damit folgt
$$E_{max} = \pm \frac{8\,I\,\pi\,v}{3\,\sqrt{3}\,c^2\,\varepsilon_0\,d}.$$ (3.1.11)
Da eine Spule meist aus mehr als einer Leitschleife besteht, wird dieses Feld noch mit der Wicklungsanzahl $n$ multipliziert. Weiterhin kann die Bahngeschwindigkeit $v$ als Funktion $v = \pi\,d\,f$ der Drehfrequenz $f$ ausgedrückt werden. Setzt man beides ein, so erhält man schließlich
$$E_{max} = \pm \frac{8\,n\,I\,\pi^2\,f}{3\,\sqrt{3}\,c^2\,\varepsilon_0} = n\,I\,f \cdot 1.90949 \cdot 10^{-5} \mathrm{\frac{V\,s}{A\,m}}.$$ (3.1.12)
Anhand der Größe der Konstanten erkennt man bereits, dass dieser Effekt sehr klein ist.

Um eine elektrische Feldstärke überhaupt sinnvoll messen zu können, sollte diese mindestens 50 V/m überschreiten. Dies entspricht einer Spule mit 3000 Wicklungen, die sich mit einer Drehzahl von 6000 U/min dreht und in der ein Strom von 10 A fließt.