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2.3.3 Die Quantinodruckwelle im Dielektrikum

In diesem Abschnitt soll die Wechselwirkung von Quantinowellen mit in der Umgebung befindlichen Dipolen untersucht werden. Die klassische Elektrodynamik bezeichnet ein Medium, welches sich polarisieren lässt, als ein Dielektrikum. Bekannt ist bisher, dass sich normale Materie polarisieren lässt, da sie aus positiv geladenen Atomkernen und negativen Elektronenhüllen besteht, und somit zahlreiche Dipole enthält. In der Quantinotheorie wird jedoch behauptet, dass sich sogar elementare Bestandteile der Materie selbst, wie z.B. Neutronen, Elektronen oder Protonen polarisieren lassen. Insbesondere wird das auch für masse- und ladungslose Teilchen wie Photonen angenommen. Die Gründe dafür werden in Abschnitt 3 erläutert.

Abbildung 2.3.3.1: Die Wellentypen des Hertzschen Dipols. Longitudinalwellen sind grün umrandet, Transversalwellen rot.
Für den Moment ist es aber ausreichend anzunehmen, dass eine Quantinodruckwelle immer auf Dipole trifft, wenn sie sich ausbreitet. Um die daraus folgenden Konsequenzen zu untersuchen, wird - wie in der Maxwellschen Elektrodynamik auch - davon ausgegangen, dass diese Dipole derart zahlreich sind, dass man sie als Kontinuum behandeln kann. Eine weitere, ebenfalls in der klassischen Elektrodynamik üblichen Annahme ist die, dass diese Dipole linear auf eine äußere Kraft reagieren, d.h. dass ihre infinitesimale Auslenkung proportional zur Stärke und Richtung des einwirkenden Quantinodruckes ist. Ein Medium bei dem das zuvor genannte zumindest in guter Näherung gilt, wird als homogen und isotrop bezeichnet.

Es soll nun untersucht werden, was geschieht, wenn sich eine Quantinodruckwelle durch ein solches homogenes, isotropes Medium bewegt. Es gibt dabei grundsätzlich zwei verschiedene Arten von Wellen, nämlich Longitudinalwellen und Transversalwellen. Bei der ersten Sorte, den Longitudinalwellen, schwingt die Kraftwirkung entlang der Ausbreitungsrichtung. Bei der zweiten Sorte, den Transversalwellen, ist die Kraft quer zur Ausbreitungsrichtung ausgerichtet. Die Quantinodruckwelle des Hertzschen Dipols enthält beide Typen, sowohl in gemischter, als auch in beinahe reiner Form. Abbildung 2.3.3.1 verdeutlicht dieses.

Die nachfolgenden Berechnungen zeigen, dass Transversalwellen beim Durchqueren eines Dielektrikums die Tendenz haben, sich zu verstärken, während Longitudinalwellen gedämpft werden. Beides zusammen kann als Hypothese dienen, um zu erklären, weshalb sich elektromagnetische Wellen nicht longitudinal ausbreiten und wieso der Hertzsche Dipol seine Energie in Form eines Ringes quer zur Schwingungsachse abstrahlt. In der klassischen Elektrodynamik ist dieses Verhalten bereits Teil der Maxwellgleichungen und damit axiomatischer Natur, während es in der Quantinotheorie die Folge eines umgebenden Dielektrikums darstellt.

2.3.3.1 Ebene Transversalwelle

Das Feld einer elektrischen Transversale ist mathematisch sehr leicht modellierbar. Nimmt man für die nachfolgenden Überlegungen beispielhaft an, dass sich die Welle in x-Richtung ausbreitet und in z-Richtung oszilliert, so lautet das Feld
$$\vec{E}_t(\vec{r},t) = \vec{e}_z\,\sin\left(\omega\left(t-\frac{\vec{e}_x\,\vec{r}}{c}\right)\right).$$ (2.3.3.1.1)
Wie bereits eingangs erwähnt wurde, wird angenommen, dass sich die Dipole des Dielektrikums immer so ausrichten, dass sie das äußere Feld schwächen. Weiterhin wird angenommen, dass diese Ausrichtung hinreichend schnell genug stattfindet, also auch dann noch erfolgt, wenn das äußere Feld Frequenzen bis in den Mikrowellenbereich aufweist. Unter diesen Voraussetzungen gilt für die Auslenkung $\vec{l}_+(t)$ der positiven Teilladung eines sich am Ort $\vec{s}$ befindlichen Dipols der Zusammenhang
$$\vec{l}_+(t) \sim \vec{e}_z\,\sin\left(\omega\,\left(t-\frac{s_x}{c}\right)\right),$$ (2.3.3.1.2)
während die der negativen genau invers ist. Aufgrund der so erzwungenen sinusförmigen Schwingung wird der Dipol eine elektrische Welle $\vec{E}_d$ abstrahlen, welche sich aus Gleichung (2.3.2.9) ergibt. Für deren Feldstärke am Ort $\vec{r}$ zum Zeitpunkt $t$ gilt dann
$$\vec{E}_d(\vec{r},t) = \kappa\,\vec{E}_p\left(\vec{r}-\vec{s},\vec{e}_z,t - \frac{s_x}{c}\right),$$ (2.3.3.1.3)
wobei $\kappa$ eine hier nicht näher interessierende und von den Eigenschaften des Dielektrikums abhängende kleine Konstante größer Null darstellt.

Da davon ausgegangen wird, dass das umgebende Vakuum gleichmäßig mit Photonen also Dipolen angefüllt ist, muss, um das Feld $\vec{E}_s$ des gesamten Dielektrikums zu erhalten, über alle $\vec{s}$ integriert werden. Da der Raum aufgrund der vorausgesetzten Homogenität überall die gleichen Eigenschaften aufweist, ist es jedoch ausreichend, das Feld $\vec{E}_s$ lediglich am Koordinatenursprung zu berechnen. Es gilt
$$\vec{E}_s(t) = \iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\vec{E}_d(\vec{0},t)\,\d{\vec{s}} = \kappa\,\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\vec{E}_p\left(-\vec{s},\vec{e}_z,t - \frac{s_x}{c}\right)\,\d{\vec{s}}.$$ (2.3.3.1.4)
Durch Einsetzen der Gleichung (2.3.2.9) gelangt man zum Integral
$$\vec{E}_s(t) = \frac{3\,\kappa\,\omega}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,c}\,\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\vec{e}_z - 2\,(\vec{e}_z\cdot\vec{s})\,\frac{\vec{s}}{s^2}\right)\, \frac{1}{s^2}\,\cos\left(\omega\left(t + \frac{s-s_x}{c}\right)\right)\,\d{\vec{s}}$$ (2.3.3.1.5)
welches sich durch Substitution zu
$$\vec{E}_s(t) = \frac{3\,\kappa\,\omega^2}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,c^2}\,\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\vec{e}_z - 2\,(\vec{e}_z\cdot\vec{s})\,\frac{\vec{s}}{s^2}\right)\, \frac{1}{s^2}\,\cos\left(\omega\,t + s-s_x\right)\,\d{\vec{s}}$$ (2.3.3.1.6)
vereinfachen lässt.

Die symbolische Integration der x- und y-Komponenten ergibt jeweils Null. Die z-Komponente lässt sich hingegen nicht analytisch berechnen. Da das Integral aber nur von $\omega\,t$ abhängt und überdies periodisch sein muss, kann eine numerische Berechnung für variierendes $\omega\,t$ durchgeführt werden. Eine solche zeigt, dass offenbar eine Beziehung der Form
$$\vec{E}_s(t) \approx \kappa'\,\vec{e}_z\,\sin\left(\omega\,t+\frac{\pi}{6}\right)$$ (2.3.3.1.7)
existiert, wobei $\kappa'$ eine kleine Konstante größer Null darstellt. Addiert man dieses zum Primärfeld, so folgt
$$\vec{E}_t(\vec{0},t) + \vec{E}_s(t) \approx \vec{e}_z\,\left(\sin\left(\omega\,t\right) + \kappa'\,\sin\left(\omega\,t+\frac{\pi}{6}\right)\right),$$ (2.3.3.1.8)
was aufgrund von $\kappa' > 0$ stärker ist, als das Feld $\vec{E}_t(\vec{0},t)$ für sich allein. Die genaue Verstärkung beträgt $\sqrt{1 + \sqrt{3}\,\kappa' + \kappa'^2}$. Daraus folgt, dass Transversalwellen ein Dielektrikum hervorragend durchdringen können.

2.3.3.2 Ebene Longitudinalwelle

Das Feld einer sich in x-Richtung ausbreitenden Longitudinalwelle lautet
$$\vec{E}_l(\vec{r},t) = \vec{e}_x\,\sin\left(\omega\left(t-\frac{\vec{e}_x\,\vec{r}}{c}\right)\right).$$ (2.3.3.2.1)
Auch hier wird wieder angenommen, dass die Dipole des Dielektrikums das äußere Feld schwächen. Daher gilt für die Auslenkung $\vec{l}_+(t)$ der positiven Teilladung eines sich am Ort $\vec{s}$ befindlichen Dipols die Beziehung
$$\vec{l}_+(t) \sim \vec{e}_x\,\sin\left(\omega\,\left(t-\frac{s_x}{c}\right)\right).$$ (2.3.3.2.2)
Aufgrund der erzwungenen sinusförmigen Schwingung wird dieser Dipol eine elektrische Welle $\vec{E}_d$ abstrahlen, die auch hier wieder aus Gleichung (2.3.2.9) abgleitet werden kann. Es gilt
$$\vec{E}_d(\vec{r},t) = \kappa\,\vec{E}_p\left(\vec{r}-\vec{s},\vec{e}_x,t - \frac{s_x}{c}\right).$$ (2.3.3.2.3)
Durch Integration über alle Dipole des Raumes folgt die Feldstärke
$$\vec{E}_s(t) = \kappa\,\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\vec{E}_p\left(-\vec{s},\vec{e}_x,t - \frac{s_x}{c}\right)\,\d{\vec{s}},$$ (2.3.3.2.4)
die das Dielektrikum der Welle (am Koordinatenursprung) entgegensetzt. Durch Einsetzen der Formel (2.3.2.9) gelangt man nach Substitution zum Integral
$$\vec{E}_s(t) = \frac{3\,\kappa\,\omega^2}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,c^2}\,\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\vec{e}_x - 2\,(\vec{e}_x\cdot\vec{s})\,\frac{\vec{s}}{s^2}\right)\, \frac{1}{s^2}\,\cos\left(\omega\,t + s-s_x\right)\,\d{\vec{s}},$$ (2.3.3.2.5)
welches nur für die y- und die z-Komponente symbolisch gelöst werden kann und dort Null ergibt. Die x-Komponente lässt sich hingegen nur numerisch auswerten. Man erhält hier eine Beziehung der Form
$$\vec{E}_s(t) \approx -\kappa''\vec{e}_x\,\sin\left(\omega\,t+\frac{\pi}{3}\right).$$ (2.3.3.2.6)
Addiert man dieses zur ursprünglichen Welle, so folgt
$$\vec{E}_l(\vec{0},t) + \vec{E}_s(t) \approx \vec{e}_x\,\left(\sin\left(\omega\,t\right) - \kappa''\,\sin\left(\omega\,t+\frac{\pi}{3}\right)\right),$$ (2.3.3.2.7)
was einer Verstärkung von $\sqrt{1 - \kappa'' + \kappa''^2}$ entspricht. Da $\kappa''$ jedoch eine sehr kleine Konstante größer Null ist, kommt es effektiv zu einer Dämpfung. Das bedeutet, dass ein Dielektrikum - und damit auch das Vakuum - für Longitudinalwellen nur sehr schwer durchdringbar ist.