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2.9 Die Lorentzkraft

Im vorangegangenen Abschnitt Erstes Induktionsgesetz wurde gezeigt, dass Wechselströme in entfernten elektrischen Leitern sekundäre Wechselströme induzieren können. In diesem Abschnitt werden nun Gleichströme untersucht.

Mit elektrischen Strömen hat man es immer dann zu tun, wenn sich elektrische Ladungen bewegen. Gleichstrom ist dabei eine spezielle Sonderform, die sich dadurch auszeichnet, dass bei den bewegten Ladungen keine Beschleunigungen auftreten oder diese zumindest so klein sind, dass man sie vernachlässigen kann. Eine der häufigsten Gleichstromformen tritt in Metalldrähten auf, wenn man die Enden des Drahtes mit den Polen einer Batterie verbindet. Die elektrische Kraft, welche durch die gegensätzlichen Spannungen der Batteriepole entsteht, zieht die im Metalldraht frei beweglichen Elektronen zum positiven Pol der Batterie. Die in der Batterie stattfindende chemische Reaktion stellt dabei immer wieder neue Elektronen zur Verfügung, bis die Batterie entladen ist.

Die Geschwindigkeit mit der sich die Elektronen im Draht bewegen ist außerordentlich klein und liegt in der Regel bei etwa 100 Mikrometern pro Sekunde. Die positiv geladenen Ionen des Metallgitters können sich hingegen nicht bewegen. Daher liegt in einem Metalldraht eine Asymmetrie vor. Eine andere Form von Gleichstrom findet sich in dotierten Halbleitern. Hier bewegen sich sowohl Elektronen in die eine Richtung, als auch positiv geladene Fehlstellen oder Löcher in die andere.

Abbildung 2.9.1: Ein stromdurchflossener Draht ist für eine ruhende Probeladung elektrisch neutral. Die Feldlinien in Drahtnähe sind Artefakte, die aufgrund der Lücken zwischen den Ladungsträgern entstehen.
Abbildung 2.9.2: Die Lorentzkraft wirkt immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Probeladung.

Der Einfachheit halber wird in den nachfolgenden Überlegungen von einem symmetrischen Gleichstrom ausgegangen, wie er in Halbleitern auftritt. Die Abbildung 2.9.1 verdeutlicht das Prinzip und zeigt gleichzeitig, dass auf eine ruhende Ladung keine Kraft wirkt, da der Draht elektrisch neutral ist. Eine andere Situation liegt vor, wenn die Probeladung eine Relativgeschwindigkeit besitzt. Abbildung 2.9.2 zeigt, dass eine sich nach rechts bewegende positive Ladung ein anziehendes elektrisches Feld wahrnimmt. Die daraus resultierende Kraft zieht die Ladung nach unten, sodass sich die Bewegungsrichtung verändert. Dadurch verändert sich wiederum die Richtung des elektrischen Feldes. Im Endeffekt bewegt sich die Ladung, wie in der Animation 2.9.2 deutlich wird, auf einer Kreisbahn.

Man nennt diese Kraft die Lorentzkraft. Sie ist eine direkte Folge der Relativität der Kraft und damit der Regeln des Abschnitts Grundannahmen der Quantinotheorie. Um das zu verstehen, muss man sich klarmachen, dass sich in jedem kleinen Volumen des Drahtes genauso viele positive wie negative Ladungsträger befinden, die allerdings in entgegengesetzte Richtungen fließen. Wie gezeigt wurde, erscheint das elektrische Feld einer Ladung verstärkt oder abgeschwächt, wenn zwischen der Quellladung und der Zielladung eine Differenzgeschwindigkeit existiert. Ob eine Verstärkung oder Abschwächung vorliegt, hängt dabei vom Winkel der Relativgeschwindigkeit zur Verbindungsachse der Quell- und Empfängerladung ab.

Beim gleichstromdurchflossenen Draht fließt nun eine Ladungsträgersorte nach links, während sich die andere nach rechts bewegt. Aus diesem Grund haben beide Ladungssorten des Stroms an einem bestimmten Ort des Drahtes eine jeweils andere Differenzgeschwindigkeit zu einer bewegten Probeladung. Nur wenn die Probeladung ruht, ist die Differenzgeschwindigkeit für beide Ladungssorten gleich und das resultierende elektrische Feld ist in gleicher Weise abgeschwächt oder verstärkt. Andernfalls gilt das nicht und die elektrischen Felder der beiden Ladungssorten kompensieren sich nicht vollständig.

Abbildung 2.9.3: Keine Kraft
Abbildung 2.9.4: Anziehung nach unten
Abbildung 2.9.5: Keine Kraft

Die Abbildungen 2.9.3 bis 2.9.5 zeigen die elektrischen Kräfte, die von bestimmten Punkten des Drahtes aus auf eine sich nach rechts bewegende Punktladung einwirken. Man erhält sie, wenn man in Gedanken alle Quellladungen separat betrachtet und die in Abbildung 2.5.5 dargestellten Verhältnisse berücksichtigt. Addiert man alle Kräfte gedanklich auf und fügt noch die Kräfte der fehlenden Stellen hinzu, so erhält man eine insgesamt anziehende Kraft. Die jeweils kleeblattartigen Felder entstehen im übrigen dadurch, dass sich die negative Ladung auf der y-Achse durchsetzt, während die positive Ladung auf der x-Achse überwiegt. Der Grund ist, dass sich die positiven Ladungen im Draht mit der Probeladung mitbewegen. Die Differenzgeschwindigkeit ist daher kleiner und das resultierende Feld weniger elliptisch, als das der negativen Ladung. Die Summe der beiden unterschiedlich elliptischen Felder entspricht genau dem, was man in den Abbildungen 2.9.3 bis 2.9.5 sieht. Die absolute Stärke dieser Restfelder ist im Vergleich zu den Einzelfeldern extrem klein.

Abbildung 2.9.6: Anziehung nach links unten
Abbildung 2.9.7: Keine Kraft
Abbildung 2.9.8: Abstoßung nach links oben

Wie stellt sich die Situation für eine Probeladung dar, die sich nach unten bewegt? Die Abbildungen 2.9.6 bis 2.9.8 geben Antwort. Addiert man die dargestellten Teilkräfte wieder gedanklich und fügt die Kräfte der fehlenden Stellen hinzu, so erhält man diesmal eine Gesamtkraft, die nach links zeigt; also wieder genau senkrecht auf die Geschwindigkeit der Probeladung.

Die gleichen Überlegungen kann man für alle anderen Bewegungsrichtungen der Probeladung durchführen. Tut man dies, so stellt man fest, dass die resultierende Gesamtkraft immer senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor der Probeladung ausgerichtet ist und linear mit der Absolutgeschwindigkeit an Stärke zunimmt. Auch die Geschwindigkeit der Ladungen des Stroms gehen linear ein. Fasst man alles zusammen, so erhält man das Lorentzkraftgesetz ohne ein Magnetfeld definiert zu haben.

Abbildung 2.9.9: Entgegengesetzte Ströme stoßen sich wegen der Lorentzkraft ab.
Abbildung 2.9.10: Gleichgerichtete Ströme ziehen sich sich wegen der Lorentzkraft an.

Im Übrigen kann man statt einer einzelnen Probeladung auch einen stromdurchflossenen Draht verwenden. In diesem Fall hat man es lediglich mit vielen Probeladungen zu tun und muss das eben Gezeigte auf jede einzeln anwenden. Tut man dieses, so erkennt man sofort, dass sich zwei Drähte anziehen, wenn der Stromfluss in die gleiche Richtung geht. Falls die Ströme entgegengesetzt fließen, stoßen sich die Drähte hingegen ab. Die Animationen 2.9.9 und 2.9.10 verdeutlichen das.

Bevor dieser Abschnitt abgeschlossen wird, soll noch kurz auf die Asymmetrie des Stroms in metallischen Drähten eingegangen werden. Wie anfangs erwähnt wurde, fließen in metallischen Drähten nur negative Ladungsträger während die positiven ruhen. Die oben dargelegten Überlegungen gelten aber auch für diesen Fall. Grund ist, dass die Driftgeschwindigkeit der Elektronen im Draht gegenüber der Geschwindigkeit der Probeladungen vernachlässigt werden kann. Gedanklich lässt sich die Symmetrie leicht herstellen, indem man sich den Draht mit der halben Driftgeschwindigkeit in die Gegenrichtung bewegt vorstellt. Auf die Geschwindigkeit der Probeladung, welche oft sehr groß ist, hat das so gut wie keinen Einfluss. Falls die Probeladung hingegen ruht, sind die resultierenden Kräfte viel zu klein, um messbar zu sein.