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2.2.4 Der magnetische Dipol

Abbildung 2.2.4.1: Die geometrischen Gegebenheiten
Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass die Quantinotheorie die magnetische Kraftwirkung eines unendlich langen geraden Leiters erklären kann. Dies ist bemerkenswert, jedoch noch nicht allgemein genug. In diesem Abschnitt wird daher untersucht, welche Kraft ein Strom $I$ in einer kleinen rechteckigen Leiterschleife, wie sie in Abbildung 2.2.4.1 dargestellt ist, auf eine Probeladung $q_d$ bewirkt.

Es wird angenommen, dass der Strom aus zwei Teilströmen besteht. Der erste soll durch positive Ladungsträger verursacht sein, die sich mit der Geschwindigkeit $u$ im Uhrzeigersinn die Leiterschleife entlang bewegen. Der zweite Teilstrom bestehe hingegen aus gleich schnellen, negativen Ladungsträgern und soll sich zum ersten entgegengesetzt gerichtet bewegen. Die Gesamtladung der Teilströme sei jeweils gleich groß und betrage $\pm q_s$.

Da der Leiter der Schleife eine Gesamtlänge von $8\,L$ besitzt und die Gesamtladung eines jeden Teilstromes $q_s$ beträgt, folgt eine Linienladungsdichte von $q_s/(8\,L)$. Da der Strom definiert ist als Linienladungsdichte mal Geschwindigkeit, beträgt die Stromstärke eines jeden Teilstroms somit $q_s/(8\,L)\,u$. Insgesamt gilt also
$$I = \frac{q_s\,u}{4\,L}$$ (2.2.4.1)
Die Kraft des Teilstromes der positiven Ladungsträger $\vec{F}_{p}$ kann durch Integration aller Teilkräfte entsprechend der gefundenen Formel (2.2.3.10) entlang der Leiterschleife berechnet werden. Es gilt
$$\begin{eqnarray} \vec{F}_{p}(\vec{r},\vec{v},u) & = & \frac{1}{8\,L}\,\int\limits_{-L}^{+L} F(\vec{r}-(x\,\vec{e}_x + L\,\vec{e}_y), \vec{v} - u\,\vec{e}_x)\,\d{x}+ \\ & & \frac{1}{8\,L}\,\int\limits_{-L}^{+L} F(\vec{r}-(L\,\vec{e}_x - y\,\vec{e}_y), \vec{v} - u\,(-\vec{e}_y))\,\d{y} + \\ & & \frac{1}{8\,L}\,\int\limits_{-L}^{+L} F(\vec{r}-(-x\,\vec{e}_x - L\,\vec{e}_y), \vec{v} - u\,(-\vec{e}_x))\,\d{x} + \\ & & \frac{1}{8\,L}\,\int\limits_{-L}^{+L} F(\vec{r}-(-L\,\vec{e}_x +y\,\vec{e}_y), \vec{v} - u\,\vec{e}_y)\,\d{y} \end{eqnarray} $$ (2.2.4.2)
Für die Kraft des Stromes der negativen Ladungsträger $\vec{F}_{n}$ gilt, wie man sich leicht überlegen kann,
$$\vec{F}_{n}(\vec{r},\vec{v},u) = -\vec{F}_{p}(\vec{r},\vec{v},-u).$$ (2.2.4.3)
Die Gesamtkraft $\vec{F}_t$ lautet somit
$$\vec{F}_t(\vec{r},\vec{v}) = \vec{F}_{p}(\vec{r},\vec{v},u) - \vec{F}_{n}(\vec{r},\vec{v},-u) = 2\, \vec{F}_{p}(\vec{r},\vec{v},u).$$ (2.2.4.4)

Wenn $L$ nun sehr klein gegenüber dem Abstand der Zielladung $r$ ist, kann man die resultierende Formel stark vereinfachen, indem man $\vec{F}_t$ bezüglich $L$ an der Stelle $0$ in eine Taylorreihe entwickelt und nach dem ersten Glied abbricht. Tut man dieses, so erhält man
$$\vec{F}_{t}(\vec{r},\vec{v}) = \frac{L\,\mu_0\,q_d\,q_s\,u}{4\,\pi}\, \left( \begin{array}{c} \frac{3\,r_y\,r_z\,v_z}{r^5}-\frac{3\,r_z^2\,v_y}{r^5}+\frac{v_y}{r^3} \\ -\frac{3\,r_x\,r_z\,v_z}{r^5}+\frac{3\,r_z^2\,v_x}{r^5}-\frac{v_x}{r^3} \\ \frac{3\,r_x\,r_z\,v_y}{r^5}-\frac{3\,r_y\,r_z\,v_x}{r^5} \\ \end{array} \right)$$ (2.2.4.5)
Bemerkenswerterweise kann man diese Kraft $\vec{F}_{t}$ auch als ein Kreuzprodukt aus der Geschwindigkeit $\vec{v}$ und einem nur von $\vec{r}$ abhängenden Vektorfeld ausdrücken:
$$\vec{F}_{t}(\vec{r},\vec{v}) = \frac{L\,\mu_0\,q_d\,q_s\,u}{4\,\pi}\,\left(\vec{v}\,\,\times\, \frac{\vec{e}_z\,r^2 - 3\,\vec{r}\,(\vec{e}_z\cdot\vec{r})}{r^5}\right).$$ (2.2.4.6)

Abbildung 2.2.4.2: Der magnetische Dipol.
Bemerkenswert ist weiterhin, dass das Vektorfeld exakt dem entspricht, was man in der Elektrostatik als ein in z-Richtung ausgerichtetes Dipolfeld bezeichnet. Das bedeutet insbesondere, dass man in der Quantinotheorie jeden kleinen Kreisstrom mathematisch durch zwei entgegengesetzt geladene magnetische Monopole modellieren kann. Abbildung 2.2.4.2 verdeutlicht dieses. Dargestellt ist hier die x-z-Ebene für $y=0$. Die Leiterschleife ist nur als waagerechter Strich auf der x-Achse zu erkennen. Die beiden farbigen Kreise markieren die gedachten magnetischen Monopole. Grau im Hintergrund ist das resultierende Feld - die magnetische Induktion - dargestellt, die man, genau wie in der klassischen maxwellschen Feldtheorie auch, durch
$$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\,\pi\,r^2}\,\frac{3\,\vec{r}\,(\vec{\mu}\cdot\vec{r})-\vec{\mu}\,r^2}{r^3}$$ (2.2.4.7)
definieren kann. Mit
$$\vec{\mu} = -I\,(2\,L)^2\,\vec{e}_z = -q_s\,u\,L\,\vec{e}_z$$ (2.2.4.8)
als das magnetische Dipolmoment erhält man den einfachen Zusammenhang
$$\vec{F}_{t} = q_d\,\left(\vec{v}\times\vec{B}\right),$$ (2.2.4.9)
was unschwer als die Lorentzkraft identifiziert werden kann.