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2.6.4 Teilcheninterferenz am Doppelspalt

In diesem Abschnitt wird ein ganz spezieller Typ eines räumlich inhomogenen, oszillierenden Feldes untersucht, welches genau dann entsteht, wenn eine ebene elektrische Welle auf eine Barriere trifft, die an zwei (oder mehr) Punkten durchlässig ist. Das elektrische Feld, welches sich hinter dieser Barriere herausbildet, entspricht gegeneinander verschobenen Kugelwellen (huygens-fresnelsches Prinzip) und lässt sich mathematisch durch den Ansatz
$$\vec{E}(\vec{r},t) = \vec{a}_{1}\,\cos\left(\omega\,\left(t-\frac{r_1}{c}\right)\right) + \vec{a}_{2}\,\cos\left(\omega\,\left(t-\frac{r_2}{c}\right)\right)$$ (2.6.4.1)
mit $\vec{r}_1 = \vec{r}-\vec{s}_1$ und $\vec{r}_2 = \vec{r}-\vec{s}_2$ modellieren. Dabei sind $\vec{s}_1$ und $\vec{s}_2$ die Positionen der Öffnungen in der Barriere.

Innerhalb des elektrischen Feldes sollen sich vereinzelt geladene oder neutrale Teilchen bewegen und gelegentlich die Öffnungen treffen und hindurchtreten. Wir wollen das Problem nicht als quantenmechanischen Vorgang betrachten, sondern davon ausgehen, dass es sich bei dem elektrischen Feld um eine klassische EM-Welle und bei den Teilchen um kleine, klassische, punktförmige Partikel handelt.

Abbildung 2.6.4.1: Elektrisches Feld bei nur einer Öffnung.
Abbildung 2.6.4.2: Elektrisches Feld bei zwei Öffnungen.

Die Animationen 2.6.4.1 und 2.6.4.2 verdeutlichen die Form des Feldes vor und nach der Barriere mit jeweils ein oder zwei kleinen Öffnungen. Wie deutlich zu erkennen ist, bildet sich bei zwei Öffnungen ein Interferenzmuster. Es liegt sofort nahe zu vermuten, dass ein Teilchen im Feld hinter der Barriere bei zwei Öffnungen eine ponderomotorische Kraft wahrnimmt. Bei nur einer Öffnung kann hingegen keine ponderomotorische Kraft entstehen. Damit sollte sich ein Teilchen in diesem Fall auf einer geradlinigen Bahn bewegen. Diese Vermutung wird im Weiteren mathematisch untersucht.

Bevor die Formel (2.6.3.18) verwendet werden kann, muss das Feld (2.6.4.1) in eine Form gebracht werden, die dem Feldansatz (2.6.3.1) entspricht. Dies ist mit Hilfe der trigonometrischen Beziehung $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$ möglich. Nach etwas Umformen und Ausklammern erhält man

$$\vec{E}(\vec{r},t) = \vec{E}_{c}\cos\left(\omega\,t\right) + \vec{E}_{s}\sin\left(\omega\,t\right),$$ (2.6.4.2)
mit den zeitunabhängigen Amplituden
$$\vec{E}_{c} := \vec{a}_{1}\cos\left(\omega\,\frac{r_1}{c}\right) + \vec{a}_{2}\cos\left(\omega\,\frac{r_2}{c}\right)$$ (2.6.4.3)
und
$$\vec{E}_{s} := \vec{a}_{1}\sin\left(\omega\,\frac{r_1}{c}\right) + \vec{a}_{2}\sin\left(\omega\,\frac{r_2}{c}\right).$$ (2.6.4.4)
Wie sich zeigt, gibt es in diesem Fall zwei ponderomotorische Kräfte, die sich überlagern. Die Gesamtkraft lautet wegen Formel (2.6.3.16)
$$\vec{F}_p = -a_f \left(\nabla\otimes\vec{E}_c\cdot\vec{E}_c + \nabla\otimes\vec{E}_s\cdot\vec{E}_s\right)$$ (2.6.4.5)
mit
$$a_f := \frac{q^2}{2\,m_{red}\,\left(\omega^2-\omega_e^2\right)}.$$ (2.6.4.6)
Durch Einsetzen der Amplituden (2.6.4.3) und (2.6.4.4) erhält man
$$\vec{F}_p = -\frac{a_f}{c}\left(\frac{\vec{a}_1\cdot\vec{r}_2}{r_2}\,\vec{a}_2 -\frac{\vec{a}_2\cdot\vec{r}_1}{r_1}\,\vec{a}_1\right) \cdot \sin\left(\frac{\omega\,(r_1-r_2)}{c}\right).$$ (2.6.4.7)
Diese Lösung wird im Weiteren näher analysiert.

Nur eine Öffnung vorhanden

Bei nur einer Öffnung ist entweder $\vec{a}_1$ oder $\vec{a}_2$ Null. Wir wählen $\vec{a}_1=0$ und setzen dies in Formel (2.6.4.7) ein. Es folgt $\vec{F}_p = 0$, d.h. für nur eine Öffnung tritt keinerlei Kraftwirkung auf. Sollten sich in dem Feld gebundene Teilchen bewegen, so ist deren Bahnkurve immer eine Gerade.

Es sind zwei Öffnungen vorhanden

Für zwei Öffnungen gilt $\vec{a}_1 = \vec{a}_2 = \vec{a} \neq 0$. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass sich die Barriere in der y-z-Ebene befindet. Eine der Öffnungen soll sich bei $\vec{s}_1 = (0,0,s)$ befinden. Die andere sei bei $\vec{s}_2 = (0,0,-s)$. Wir setzen in die Formel (2.6.4.7) ein und erhalten
$$\begin{split}\vec{F}_p = & -\frac{a_f}{c}\,\left[\vec{a}\cdot\left(\frac{\vec{r}-\vec{s}_2}{\Vert\vec{r}-\vec{s}_2\Vert} -\frac{\vec{r}-\vec{s}_1}{\Vert\vec{r}-\vec{s}_1\Vert}\right)\right]\cdot \\ & \vec{a}\,\sin\left(\frac{\omega\,(\Vert\vec{r}-\vec{s}_1\Vert-\Vert\vec{r}-\vec{s}_2\Vert)}{c}\right).\end{split}$$ (2.6.4.2.1)
Wir betrachten nun eine Linie auf der z-Achse im Abstand $d$ hinter der Barriere. $\vec{r}$ hat für diesen Fall die Form $\vec{r} = (d,0,z)$. Falls wir weiter annehmen, dass das elektrische Feld ausschließlich in z-Richtung schwingt (Transversalwelle), so ist zusätzlich $\vec{a} = (0,0,a_z)$. Setzt man beides in die Gleichung (2.6.4.2.1) ein, so erhält man eine ponderomotorische Kraft, die ausschließlich in z-Richtung ausgerichtet ist und die Stärke
$$\begin{split}F_{pz} = & -\frac{a_f\,a_z^2}{c}\, \left(\frac{s-z}{\sqrt{d^2+(s-z)^2}} + \frac{s+z}{\sqrt{d^2+(s+z)^2}}\right) \cdot \\ & \,\sin\left(\frac{\omega\,(\sqrt{d^2+(s-z)^2}-\sqrt{d^2+(s+z)^2}}{c}\right)\end{split}$$ (2.6.4.2.2)
besitzt.

Abbildung 2.6.4.2.1: Die ponderomotorische Kraft hinter der Barriere in z-Richtung.
Abbildung 2.6.4.2.2: Die Orte, an denen die Teilchen nach und nach bevorzugt eintreffen.

Die Abbildung 2.6.4.2.1 zeigt den prinzipiellen Verlauf der Kraft auf der z-Achse für gebundene Teilchen mit einer Eigenfrequenz oberhalb der Feldfrequenz ($\omega_e > \omega$). Es wird klar, dass solche elektrisch neutralen Partikel hinter der Barriere eine Kraft erfahren. Sie streben demzufolge dorthin, wo die Kraft vom Betrag her klein ist. Die lokalen Maxima in 2.6.4.2.2 markieren dabei die Orte, an denen Teilchen, welche das Feld hinter der Barriere durchlaufen haben, bevorzugt ankommen werden. Wie zu sehen ist, entspricht die Kurve einem klassischen Interferenzmuster. Allerdings erhält man dieses Muster nicht wie bei einer EM-Welle sofort, sondern erst nach einer Weile, wenn genug Teilchen eingetroffen sind, um ein Histogramm zu bilden. Das Interferenzmuster stellt hier also, sofern man eine Normierung der Fläche auf Eins durchführt, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Orte der Teilchen auf einer Detektorfläche hinter der Barriere dar.

Eine weitere Sache ist ebenfalls erwähnenswert, und zwar ist die Form der Wahrscheinlichkeitsverteilung - wie man sich leicht überlegen kann - weitgehend unabhängig von der Feldstärke. Diese Eigenschaft hat auch die "Quantenkraft", die in der Bohmschen Mechanik aus der Schrödingergleichung abgleitet wird ([Passon2010], Seite 41). Um Missverständnissen vorzubeugen, wird hier aber nocheinmal darauf hingewiesen, dass in der gesamten Rechnung zuvor nur konventionelle klassische Physik verwendet wurde.

Polarisationsfilter vor einer der Öffnungen

Es soll nun untersucht werden, wie sich das Anbringen eines Polarisationsfilters vor einer der Öffnungen auswirkt. Es wird wieder angenommen, dass sich die Welle in x-Richtung ausbreitet und in z-Richtung polarisiert ist. In diesem Fall gilt, sofern sich der Polarisationsfilter vor der zweiten Öffnung befindet,
$$\vec{a}_1 = a_z\left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right) \quad\text{und}\quad \vec{a}_2 = a_z\left(\begin{matrix} 0 \\ -\sin(\alpha) \\ \cos(\alpha)\end{matrix}\right).$$ (2.6.4.3.1)
Die Öffnungen in der Barriere seien wie zuvor bei $\vec{s}_1 = (0,0,s)$ und $\vec{s}_2 = (0,0,-s)$. Wir betrachten auch hier wieder eine Linie auf der z-Achse im Abstand $d$ hinter der Barriere, d.h. für $\vec{r}$ gilt $\vec{r} = (d,0,z)$.

Durch Einsetzen in Formel (2.6.4.7) und Zusammenfassen erhält man
$$\begin{split}F_{pz} = & -\frac{a_f\,a_z^2}{c}\,\left(\frac{s-z}{\sqrt{d^2+(s-z)^2}} + \frac{s+z}{\sqrt{d^2+(s+z)^2}}\right)\,\cdot \\ & \sin\left(\frac{\omega\,(\sqrt{d^2+(s-z)^2}-\sqrt{d^2+(s+z)^2}}{c}\right)\cdot\cos(\alpha),\end{split}$$ (2.6.4.3.2)
was genau der Formel (2.6.4.2.2) multipliziert mit $\cos(\alpha)$ entspricht. Da der Kosinus für $\alpha = 90°$ Null wird, verschwindet auch die ponderomotorische Kraft. Bringt man also vor einer der Öffnungen einen Polarisationsfilter an, welcher die EM-Welle hinter einer Öffnung um $90°$ dreht, so wird man keine Teilcheninterferenz beobachten können. Auch dieses Verhalten ist aus Experimenten sehr gut bekannt (Siehe z.B. [Walborn2000]).