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2.2.3 Die Lorentzkraft

Dass sich das Coulombkraftgesetz erfüllen lässt, verwundert nicht besonders. Die magnetische Kraft hat jedoch eine vollkommen andere, man könnte fast sagen merkwürdige Struktur. Sie wirkt zum einen immer senkrecht zur Bewegungsrichtung einer Ladung und verschwindet zum anderen, wenn sich entweder die Quelle oder aber das Ziel in Ruhe befinden.

Um zu verstehen, dass sich auch die magnetische Kraft durch die Wirkung des Quantinofeldes erklären lässt, stellt man sich am besten einen unendlich langen geraden elektrischen Leiter entlang der x-Achse vor, in welchem sich die negativen Ladungsträger in die negative x-Richtung bewegen, während die Geschwindigkeit der positiven Ladungsträger genau entgegengesetzt gerichtet ist. Um die Kraftwirkung der gesamten Anordnung $\vec{F}_t$ berechnen zu können, stellt man sich den Draht weiterhin aus unendlichen kurzen Teilstücken zusammengesetzt vor. In jedem dieser Segmente bewegt sich nun eine negative Linienladung $\lambda$ nach links, während sich eine positive, gleichgroße Linienladung nach rechts bewegt. Die Teilkraft $\vec{F}_p$ eines solchen Teilstückes am Ort $\vec{x} = (x,0,0)^T$ auf eine Ladung $q_d$ am Ort $\vec{r}$ beträgt
$$\vec{F}_p = \frac{q_d\,\lambda\,\sigma_e}{e^2}\,\left(\vec{\mathcal{P}}_e(\vec{r}-\vec{x},\vec{v}-\vec{u}) - \vec{\mathcal{P}}_e(\vec{r}-\vec{x},\vec{v}+\vec{u})\right)$$ (2.2.3.1)
wobei $\vec{u}=(u,0,0)^T$ die Geschwindigkeit der Linienladungen ist. Setzt man die Gleichungen (2.2.2.2), (2.2.2.3) und (2.2.2.7) ein, so erhält man
$$\begin{eqnarray}\vec{F}_p & = & \frac{q_d\,\lambda\,\mu_0\,\mu_h}{4\,\pi}\,\frac{\vec{R}}{R^3}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \,\Gamma_k\,c^k \left(-c\,\frac{k-1}{k + 1} \left(\frac{\vec{R}}{R}\cdot\vec{u}\right) \right. - \\ & & \left. (k-2)\left(\frac{\vec{R}}{R}\cdot\vec{v}\right)\left(\frac{\vec{R}}{R}\cdot\vec{u}\right) + \frac{k - 2}{k} \vec{v}\,\vec{u}\right)\end{eqnarray}$$ (2.2.3.2)
mit $\vec{R}=\vec{r}-\vec{x} = (r_x-x,r_y,r_z)^T$. Das Wegintegral entlang der x-Achse
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \vec{F}_p\,\d{x}$$ (2.2.3.3)
liefert dann die Kraft $\vec{F}_t$ der gesamten Anordnung. Nach Ausführung der Integration folgt
$$\vec{F}_t = u\,\frac{q_d\,\lambda\,\mu_0\,\mu_h}{\pi}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \,\Gamma_k\,c^k \left( \begin{array}{c} -\frac{\pi\,c\,(k-1)}{8\,(k+1)\,\sqrt{r_y^2+r_z^2}}-\frac{k-2}{6}\,\frac{r_y\,v_y+r_z\,v_z}{r_y^2+r_z^2} \\ -\frac{(k-3)\,(k-2)}{6\,k} \,\frac{r_y\,v_x}{r_y^2+r_z^2} \\ -\frac{(k-3)\,(k-2)}{6\,k} \,\frac{r_z\,v_x}{r_y^2+r_z^2} \\ \end{array} \right)$$ (2.2.3.4)

Auf dem klassischen Wege würde man, um die magnetische Kraft zu erhalten, zunächst mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes die magnetische Flussdichte und anschließend unter Zuhilfenahme des Lorentzkraftgesetzes die Kraftwirkung berechnen. Beide Gesetze zusammen ergeben
$$\vec{F}_{t} = \frac{\mu_0}{4\,\pi} \left(q_d\,\vec{v} \times \int\limits_{-\infty}^{+\infty} (2\,\vec{I}) \times \frac{\vec{R}}{R^3}\d{x}\right).$$ (2.2.3.5)
Der Strom $\vec{I}$ wird hier im Übrigen mit Zwei multipliziert, da man es in diesem konkreten Fall mit insgesamt zwei Strömen zu tun hat: nämlich einen bestehend aus negativen Ladungsträgern, der physisch nach links fließt, und einem aus sich nach rechts bewegenden positiven Ladungsträgern. Beide Ströme gehen technisch gesehen in die gleiche Richtung. Im Übrigen ist der Strom $\vec{I}$ gleich dem Produkt aus Linienladungsdichte $\lambda$ und der Bewegungsgeschwindigkeit der positiven Ladungsträger $\vec{u}$.

Das Integral in Formel (2.2.3.5) kann gelöst werden und man erhält nach Ausmultiplizieren
$$\vec{F}_{t} = u\,\frac{q_d\,\lambda\,\mu_0}{\pi}\, \left( \begin{array}{c} \frac{r_y\,v_y+r_z\,v_z}{r_y^2+r_z^2} \\ -\frac{r_y\,v_x}{r_y^2+r_z^2} \\ -\frac{r_z\,v_x}{r_y^2+r_z^2} \\ \end{array} \right).$$ (2.2.3.6)
Vergleicht man das Ergebnis (2.2.3.4) mit dem der klassischen Berechnung (2.2.3.6) so erkennt man, dass bei geeigneter Wahl der Parameter auch hier eine Gleichheit erzielt werden kann. Konkret bedeutet das, dass die Gleichungen
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\,\Gamma_k\,c^k\,\frac{k-1}{k+1} = 0,\quad \sum\limits_{k=1}^{\infty}\,\Gamma_k\,c^k\,\frac{k-2}{6} = -\mu_h,$$ (2.2.3.7)
und
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\,\Gamma_k\,c^k\,\frac{(k-3)(k-2)}{6\,k} = \mu_h$$ (2.2.3.8)
zu erfüllen sind. Zusammen mit Gleichung (2.2.2.6) sind also vier Randbedingungen gegeben, welche die freie Wahl der Parameter $\Gamma_k$ der Emissionsgeschwindigkeitsverteilung $\Gamma(w)$ einschränken.

Obwohl es für die Überlegungen dieses Abschnittes eigentlich unwesentlich ist, soll aus Gründen der Vollständigkeit wenigstens eine mögliche Beispielverteilung angegeben werden, welche die vier genannten Bedingungen erfüllt
$$\Gamma(w) = \mu_h\left(\frac{333\,w}{238\,c} + \frac{6150\,w^3}{119\,c^3} - \frac{600\,w^4}{7\,c^4} + \frac{1305\,w^5}{34\,c^5}\right). $$ (2.2.3.9)

Abbildung 2.2.3.1: Typischer Verlauf der Emissionsgeschwindigkeitsverteilung.
Der Verlauf dieser Funktion ist in Abbildung 2.2.3.1 dargestellt. Man erkennt, dass die Nichtlinearität nur gering ausgeprägt ist und vor allem daraus resultiert, dass kleine Emissionsgeschwindigkeiten eine überproportional geringe Emissionswahrscheinlichkeit haben. Dieses lässt sich sehr gut damit erklären, dass ein langsam emittiertes Quantino oftmals gleich wieder durch die Ladung eingefangen wird, die es emittiert hat. Das Abknicken der Kurve nach oben hin zeigt weiterhin, dass unendlich schnelle Quantinos ebenfalls nicht vorkommen. Allerdings lässt sich über die genaue Form der Verteilung für Emissionsgeschwindigkeiten größer $c$ nicht viel aussagen, da die klassische Elektrodynamik hierzu keine Anhaltspunkte bietet.

Für die Lorentzkraft spielt die genaue Form der Emissionsgeschwindigkeitsverteilung allerdings auch keine Rolle, denn es reicht aus, irgendeine Lösung der Randbedingungen (2.2.2.6), (2.2.3.7) und (2.2.3.8) zu finden und in den Formeln (2.2.2.2) und (2.2.2.3) einzusetzen: es folgt immer die gleiche in der Physik bislang unbekannte, aber außerordentlich interessante Formel
$$\vec{F}(\vec{r},\vec{v}) = \frac{\mu_0\,q_d\,q_s}{4\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\left((c^2 + v^2) - \frac{3}{2}\,\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right)^2\right),$$ (2.2.3.10)
die man guten Gewissens als ein Verallgemeinertes Coulombgesetz bezeichnen kann, da sie dass klassische Coulombgesetz als Spezialfall enthält. Anzumerken ist, dass es sich bei der Kraft um die elektromagnetische Gesamtkraft - also die elektrische und die magnetische Kraft zusammen - zwischen zwei langsamen, näherungsweise gleichförmig bewegten Punktladungen handelt. Dabei ist $\vec{r}$ der Abstandsvektor und $\vec{v}$ der Geschwindigkeitsdifferenzvektor zwischen Zielladung und Quellladung. Wie sich später noch zeigen wird, ist mit ihr, neben der magnetischen Kraft auch die Schwerkraft erklärbar.

Es sei vorweggenommen, dass die magnetische Kraft und die Schwerkraft eng miteinander verwandt sind, denn Gravitation entsteht immer dann, wenn sich entgegengesetzt gleichgroße elektrische Ladungen an einem Raumpunkt perfekt neutralisieren, sich aber ihre Geschwindigkeitsverteilungen in der Varianz unterscheiden. Dieser, dem Magnetismus ähnelnde Effekt, blieb der Physik bisher verborgen, während die Tatsache, dass die magnetische Kraft durch Abweichungen bei den Mittelwerten der Geschwindigkeitsverteilungen entsteht, bereits um 1825/1826 ([Leuchtmann2005] Seite 112) von André-Marie Ampère erkannt worden ist.