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2.5.6 Apsidendrehung des Merkur

Die aus dem Plasmatröpfchenmodell folgende Gravitationsformel (2.5.1.28) ist im Übrigen auch kompatibel zum Effekt der Periheldrehung des Merkurs, welcher üblicherweise mit Hilfe der Allgemeinen Relativitätstheorie erklärt wird. Diese Behauptung wird im Folgenden bewiesen.

Grundsätzlich beschreibt die Formel (2.5.1.28) die Kraft $\vec{F}$ einer Masse $M_s$ am Koordinatenursprung auf eine Masse $M=M_d$ am Ort $\vec{r}$. Wie sofort zu erkennen ist, entfallen für $c\to\infty$ die im Vergleich zum klassischen Gravitationsgesetz auftretenden Zusatzterme. Für ein endliches $c$ ergeben sich hingegen sehr kleine Unterschiede. Diese führen jedoch nicht dazu, dass die Erhaltungssätze verletzt wären, denn auch in der vollen Form gelten Impuls-, Drehimpuls- sowie Energieerhaltung (Siehe Abschnitt 2.4).

Für das klassische Gravitationsgesetz gibt es neben den üblichen Erhaltungsgrößen noch eine vierte, die als Laplace-Runge-Lenz-Vektor
$$\vec{A} := m\,\vec{v}\times\vec{L} - G\,m\,M\,M_s\,\frac{\vec{r}}{r}$$ (2.5.6.1)
bezeichnet wird. Das kleine $m$ kennzeichnet hierbei die träge Masse der Zielmasse $M$. Für Planeten, welche sich auf Keplerellipsen um einen Stern bewegen, zeigt dieser Vektor genau von der Position des Sternes zum Perihel, also der sonnennächsten Stelle der Bahn des Planeten. Der Laplace-Runge-Lenz-Vektor hat daher die Bedeutung eines Ellipsenausrichtungsvektors.

Um zu zeigen, dass es sich beim Laplace-Runge-Lenz-Vektor tatsächlich um eine Erhaltungsgröße handelt, wird nach der Zeit $t$ abgeleitet. Es folgt
$$\dot{\vec{A}} = m\,\dot{\vec{v}}\times\vec{L} + m\,\vec{v}\times\dot{\vec{L}} - G\,m\,M\,M_s\,\left(\frac{\vec{v}}{r} - \frac{\vec{r}\cdot\vec{v}}{r^3}\,\vec{r}\right).$$ (2.5.6.2)
Wegen der Drehimpulserhaltung gilt $\dot{\vec{L}} = 0$. Des Weiteren ist $\vec{F} = m\,\dot{\vec{v}}$, d.h.
$$\dot{\vec{A}} = \vec{F}\times\vec{L} - G\,m\,M\,M_s\,\left(\frac{\vec{v}}{r} - \frac{\vec{r}\cdot\vec{v}}{r^3}\,\vec{r}\right).$$ (2.5.6.3)
Wir ersetzen den Drehimpuls durch seine Definition $\vec{L} := m\,\vec{r}\times\vec{v}$ und $\vec{F}$ durch Gleichung (2.5.1.28) und erhalten
$$\begin{split}\dot{\vec{A}} = & -G\,m\,M\,M_s\,\left(1 + 2\,\kappa_G\,\frac{v^2}{c^2} - 3\,\kappa_G\,\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\frac{\vec{v}}{c}\right)^2 + \right. \\ & \left. 2\,\kappa_G \frac{\vec{r}\cdot\vec{a}}{c^2}\right)\,\frac{\vec{r}}{r^3}\times\left(\vec{r}\times\vec{v}\right) - G\,m\,M\,M_s\,\left(\frac{\vec{v}}{r} - \frac{\vec{r}\cdot\vec{v}}{r^3}\,\vec{r}\right).\end{split}$$ (2.5.6.4)
Wie man nachprüfen kann, ist
$$-\frac{\vec{r}}{r^3}\times\left(\vec{r}\times\vec{v}\right) = \frac{\vec{v}}{r} - \frac{\vec{r}\cdot\vec{v}}{r^3}\,\vec{r}.$$ (2.5.6.5)
Setzt man das in die Gleichung (2.5.6.4) ein, so folgt
$$\begin{split}\dot{\vec{A}} = & G\,m\,M\,M_s\,\left(1 + 2\,\kappa_G\,\frac{v^2}{c^2} - 3\,\kappa_G\,\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\frac{\vec{v}}{c}\right)^2 + \right. \\ & \left. 2\,\kappa_G \frac{\vec{r}\cdot\vec{a}}{c^2}\right)\,\left(\frac{\vec{v}}{r} - \frac{\vec{r}\cdot\vec{v}}{r^3}\,\vec{r}\right) - G\,m\,M\,M_s\,\left(\frac{\vec{v}}{r} - \frac{\vec{r}\cdot\vec{v}}{r^3}\,\vec{r}\right),\end{split}$$ (2.5.6.6)
d.h.
$$\begin{split}\dot{\vec{A}} = & G\,m\,M\,M_s\,\left(2\,\kappa_G\,\frac{v^2}{c^2} - 3\,\kappa_3\,\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\frac{\vec{v}}{c}\right)^2 + 2\,\kappa_G \frac{\vec{r}\cdot\vec{a}}{c^2}\right)\cdot \\ & \left(\frac{\vec{v}}{r} - \frac{\vec{r}\cdot\vec{v}}{r^3}\,\vec{r} \right).\end{split}$$ (2.5.6.7)
Für $c\to\infty$ ist offensichtlich $\dot{\vec{A}} = 0$. Das bedeutet, dass sich der Laplace-Runge-Lenz-Vektor beim klassischen Gravitationsgesetz nicht mit der Zeit verändert und somit eine Erhaltungsgröße darstellt. Dadurch ist gleichzeitig die Ausrichtung der Keplerepllipse, auf der sich ein Planet um seinen Zentralstern bewegt, unveränderlich. Tatsächlich treten in unserem Sonnensystem aber leichte Apsidendrehungen auf. Hauptsächlich lassen sich diese auf die Wechselwirkung zwischen den einzelnen Planeten zurückführen. Nur beim Merkur, dem sonnennächsten Planeten, sind die Abweichungen so groß, dass sie sich nicht allein auf diese Ursache zurückführen lassen ([Schmutzer1988], Seite 1113).

Beim Gravitationsgesetz (2.5.1.28) ist der Laplace-Runge-Lenz-Vektor keine Erhaltungsgröße. Da aber auch hier die Drehimpulserhaltung gilt, folgt zum einen, dass die Bewegung eines Planeten in einer festen Bahnebene stattfindet und zum anderen, dass das zweite Keplersche Gesetz gilt. Durch die Erfüllung des Energieerhaltungssatzes ist wiederum sichergestellt, dass die Bahnkurve eines Planten geschlossen bleibt und sich dieser nicht auf einer Spiralbahn dem Zentralstern nähert oder sich von diesem entfernt. Da die Abweichungen vom klassischen Gravitationsgesetz in Formel (2.5.1.28) sehr klein sind, bewegen sich die Planeten hier ebenfalls auf Keplerellipsen. Allerdings ist aufgrund der Nichterhaltung des Laplace-Runge-Lenz-Vektors eine Periheldrehung zu erwarten. Um diese abzuschätzen, ist es erforderlich die Bahnkurve eines Planten für $c\to\infty$ zu kennen. Zu diesem Zweck multiplizieren wir den Laplace-Runge-Lenz-Vektor $\vec{A}$ mit der zu findenden Bahnkurve $\vec{r}$ und erhalten
$$\vec{A}\cdot\vec{r} = m\,\left(\vec{v}\times\vec{L}\right)\cdot\vec{r} - G\,m\,M\,M_s\,r.$$ (2.5.6.8)
Der erste Term ist ein Spatprodukt, daher können die Faktoren zyklisch vertauscht werden und es gilt
$$m\,\left(\vec{v}\times\vec{L}\right)\cdot\vec{r} = m\,\left(\vec{r}\times\vec{v}\right)\cdot\vec{L} = \vec{L}\cdot\vec{L} = L^2.$$ (2.5.6.9)
Damit und mit $\vec{A}\cdot\vec{r} = A\,r\,\cos(\varphi)$ vereinfacht sich Gleichung (2.5.6.8) zu
$$A\,r\,\cos(\varphi) = L^2 - G\,m\,M\,M_s\,r.$$ (2.5.6.10)
Auflösen nach $r$ ergibt mit
$$\epsilon_k := \frac{A}{G\,m\,M\,M_s}$$ (2.5.6.11)
die Gleichung
$$r = \frac{L^2}{G\,m\,M\,M_s}\,\frac{1}{1 + \epsilon_k\,\cos(\varphi)}.$$ (2.5.6.12)
Der Parameter $\epsilon_k$ steht dabei für die numerische Exzentrizität der Bahnellipse. Man findet diesen Wert üblicherweise in Tabellen angegeben.

Die Formel (2.5.6.12) definiert aber nicht nur die Form der Bahnkurve, sondern bietet auch eine gute Gelegenheit, den Betrag des Drehimpulses $L$ aus der großen Halbachse $a_h$ zu berechnen, die man für gewöhnlich ebenfalls als numerischen Parameter aus Tabellen entnehmen kann. Die große Halbachse $a_h$ ist die Summe aus dem sonnenfernsten und dem sonnennächsten Abstand geteilt durch Zwei, d.h.
$$\begin{split} a_h = & \frac{1}{2}\,\frac{L^2}{G\,m\,M\,M_s}\,\frac{1}{1 + \epsilon_k\,\cos(0)} + \\ & \frac{1}{2}\,\frac{L^2}{G\,m\,M\,M_s}\,\frac{1}{1 + \epsilon_k\,\cos(\pi)}.\end{split}$$ (2.5.6.13)
Durch Umformen erhält man
$$L^2 = a_h\,(1 - \epsilon_k^2)\,G\,m\,M\,M_s.$$ (2.5.6.14)
Diesen Wert kann man wiederum in die Formel (2.5.6.12) einsetzen. Dabei gelangt man zu
$$r = \frac{a_h\,(1 - \epsilon_k^2)}{1 + \epsilon_k\,\cos(\varphi)},$$ (2.5.6.15)
was nur noch leicht erhältliche geometrische Parameter enthält.

Für die Auswertung der Formel (2.5.6.7) wird die Bahnkurve $\vec{r}$ und die Geschwindigkeit $\vec{v}$ benötigt. Die Bahnkurve kann wegen Gleichung (2.5.6.15) sofort hingeschrieben werden. Sie lautet
$$\vec{r} = \frac{a_h\,(1 - \epsilon_k^2)}{1 + \epsilon_k\,\cos(\varphi)}\,\vec{e}_r.$$ (2.5.6.16)
Die Einheitsvektoren in Polarkoordinaten sind dabei definiert durch $\vec{e}_r = (\cos(\varphi),\sin(\varphi))$ und $\vec{e}_{\varphi} = (-\sin(\varphi),\cos(\varphi))$. Für die Geschwindigkeit folgt nach Anwendung der Kettenregel und unter Verwendung der Beziehung $\dot{\vec{e}}_r = \vec{e}_{\varphi}\,\dot{\varphi}$
$$\vec{v} = \left(\frac{a_h\,(1 - \epsilon_k^2)\,\epsilon_k\,\sin(\varphi)}{\left(1 + \epsilon_k\,\cos(\varphi)\right)^2}\,\vec{e}_r + \frac{a_h\,(1 - \epsilon_k^2)}{1 + \epsilon_k\,\cos(\varphi)}\,\vec{e}_{\varphi}\right)\,\dot{\varphi}.$$ (2.5.6.17)
Aus dem für ebene Bahnen gültigen Zusammenhang $L = m\,r^2\,\dot{\varphi}$ sowie der Formel (2.5.6.14) folgt
$$\dot{\varphi} = \frac{1}{r^2}\,\sqrt{a_h\,(1 - \epsilon_k^2)\,G\,M_s\,\frac{M}{m}}.$$ (2.5.6.18)
Durch Einsetzen der Formel (2.5.6.15) gelangt man zu
$$\dot{\varphi} = \left(\frac{1 + \epsilon_k\,\cos(\varphi)}{a_h\,(1 - \epsilon_k^2)}\right)^2\,\sqrt{a_h\,(1 - \epsilon_k^2)\,G\,M_s\,\frac{M}{m}}.$$ (2.5.6.19)
Das ergibt eingesetzt in Gleichung (2.5.6.17) nach etwas elementarem Umformen
$$\vec{v} = \sqrt{\frac{G\,M\,M_s}{a_h\,m\,(1 - \epsilon_k^2)}}\,\left(\epsilon_k\,\sin(\varphi)\,\vec{e}_r + \left(1 + \epsilon_k\,\cos(\varphi)\right)\,\vec{e}_{\varphi}\right).$$ (2.5.6.20)
Schließlich gelangt man wegen $\sin(\varphi)\,\vec{e}_r + \cos(\varphi)\,\vec{e}_{\varphi} = \vec{e}_{y}$ zu
$$\vec{v} = \sqrt{\frac{G\,M\,M_s}{a_h\,m\,(1 - \epsilon_k^2)}}\,\left(\vec{e}_{\varphi} + \epsilon_k\,\vec{e}_{y}\right).$$ (2.5.6.21)


Zu guter Letzt benötigen wir noch die Bahnbeschleunigung $\vec{a} = \dot{\vec{v}}$. Diese lässt sich aus Formel (2.5.6.21) ableiten, indem man nach der Zeit ableitet. Man erhält
$$\vec{a} = -\sqrt{\frac{G\,M\,M_s}{a_h\,m\,(1 - \epsilon_k^2)}}\,\vec{e}_{r}\,\dot{\varphi}.$$ (2.5.6.22)
Durch Einsetzen der Gleichung (2.5.6.19) folgt nach Zusammenfassen der Terme
$$\vec{a} = -\frac{G\,M\,M_s}{m}\,\left(\frac{1 + \epsilon_k\,\cos(\varphi)}{a_h\,(1 - \epsilon_k^2)}\right)^2\,\vec{e}_{r}.$$ (2.5.6.23)


Nachdem nun die Bahnkurve, die Bahngeschwindigkeit sowie die Bahnbeschleunigung bekannt sind, ist es möglich, den Runge-Lenz-Vektor für das klassische Gravitationsgesetz durch Einsetzen in die Formel (2.5.6.1) zu berechnen. Das Ergebnis lautet
$$\vec{A} = G\,m\,M\,M_s\,\epsilon_k\,\vec{e}_x.$$ (2.5.6.24)
Des Weiteren kann jetzt auch die Abweichung (2.5.6.7) berechnet und diese Abweichung über einen kompletten Planetenumlauf mit der Umlaufzeit $\tau$ aufintegriert werden:
$$\Delta \vec{A}_{\tau} = \int\limits_{0}^{\tau}\dot{\vec{A}}(t)\,\mathrm{d}t.$$ (2.5.6.25)
Dieses Integral lässt sich so allerdings nicht direkt verwenden, da wir die Bahnkurve und die Bahngeschwindigkeit nur als Funktion des Winkels $\varphi$ kennen. Falls es uns jedoch gelingt, eine Funktion $\vec{f}(\varphi)$ zu finden, für welche die Gleichung
$$\dot{\vec{A}}(t) = \vec{f}(\varphi(t))\,\dot{\varphi}(t)$$ (2.5.6.26)
gilt, so wäre es möglich, das Integral (2.5.6.25) mit Hilfe der Substitutionsregel
$$\Delta \vec{A}_{\tau} = \int\limits_{0}^{\tau}\dot{\vec{A}}(t)\,\mathrm{d}t = \int\limits_{0}^{\tau} \vec{f}(\varphi(t))\,\dot{\varphi}(t)\,\mathrm{d}t = \int\limits_{0}^{2\,\pi} \vec{f}(\varphi)\,\mathrm{d}\varphi$$ (2.5.6.27)
umzuformen.

Tatsächlich lässt sich eine solche Funktion $\vec{f}$ finden. Dazu teilt man zunächst die Gleichung (2.5.6.7) durch die Gleichung (2.5.6.18). Man erhält
$$\begin{split}\frac{\dot{\vec{A}}}{\dot{\varphi}} = \vec{f} = & \sqrt{\frac{G\,m^3\,M\,M_s}{a_h\,(1 - \epsilon_k^2)}}\,\left(2\,\kappa_G\,\frac{v^2}{c^2} - 3\,\kappa_G\,\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\frac{\vec{v}}{c}\right)^2 + \right. \\ & \left. 2\,\kappa_G \frac{\vec{r}\cdot\vec{a}}{c^2}\right) \left(r\,\vec{v}- \frac{\vec{r}\cdot\vec{v}}{r}\,\vec{r} \right).\end{split}$$ (2.5.6.28)
Anschließend setzt man die Gleichungen (2.5.6.16), (2.5.6.21) und (2.5.6.23) ein und gelangt zu
$$\begin{split}\vec{f} = & \frac{G^2\,M^2\,M_s^2}{2\,a_h\,c^2\,(1 - \epsilon_k^2)}\,\left(\epsilon_k^2\,\kappa_G + 4\,\epsilon_k\,\kappa_G\,\cos(\varphi) + \right. \\ & \left. 3\, \epsilon_k^2\,\kappa_G\,\cos(2\,\varphi)\right)\,\vec{e}_{\varphi}.\end{split}$$ (2.5.6.29)
Damit lässt sich nun das Integral (2.5.6.27) lösen. Das Ergebnis lautet
$$\Delta \vec{A}_{\tau} = 2\,\kappa_G\,\frac{\pi\,\epsilon_k\,G^2\,M^2\,M_s^2}{a_h\,c^2\,(1 - \epsilon_k^2)}\,\vec{e}_y.$$ (2.5.6.30)
Der Betrag der Winkeländerung des Perihels $\varphi_p$ in einem Umlaufzyklus lässt sich durch
$$\varphi_p = \sin\left(\frac{\Delta A_{\tau}}{A}\right) \approx \frac{\Delta A_{\tau}}{A}$$ (2.5.6.31)
berechnen. Die Näherung ist dabei deshalb möglich, da $\Delta A_{\tau} \ll A$ ist. Durch Einsetzen des Betrags des Laplace-Runge-Lenz-Vektors $A = \epsilon_k\,G\,m\,M\,M_s$ in Gleichung (2.5.6.31) folgt
$$\varphi_p = 2\,\kappa_G\,\frac{\pi\,G\,M\,M_s}{a_h\,m\,c^2\,(1 - \epsilon_k^2)}.$$ (2.5.6.32)
Die Richtung der Winkeländerung folgt aus der Richtung von $\Delta \vec{A}_{\tau}$ und der Richtung des Laplace-Runge-Lenz-Vektors (2.5.6.24). Die erste Größe zeigt in y-Richtung, die zweite in x-Richtung. Das bedeutet, dass sich der Laplace-Runge-Lenz-Vektor entgegen dem Uhrzeigersinn dreht. Der Planet dreht sich ebenfalls entgegen des Uhrzeigersinns, was sich an der Formel der Geschwindigkeit (2.5.6.21) ablesen lässt. Daraus folgt, dass im Falle des Merkur $2\,\kappa_G > 0$ zu gelten hat, da beim Merkur, wie bei praktisch allen anderen Planeten auch, die Periheldrehung in Richtung der Planetenbewegung stattfindet und sich nur ein gewisser Anteil davon, nämlich 530 Bogensekunden pro Jahrhundert, durch die klassische Gravitationswirkung der äußeren Planten erklären lässt [Will1993] (Die Gravitationswirkung der Sonne wird weiter draußen durch die äußeren Planten geschwächt, sodass ihr Einfluss stärker als mit $1/r^2$ abnimmt).

Mit dem Wert für $\kappa_G$ aus Gleichung (2.5.1.26) und $M = m$ folgt
$$\varphi_p = \frac{6\,\pi\,G\,M_s}{a_h\,c^2\,(1 - \epsilon_k^2)}.$$ (2.5.6.33)
Das entspricht genau dem Wert, den man aus der Allgemeinen Relativitätstheorie kennt.