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2.2 Die elektromagnetische Kraft

Die klassische maxwellsche Elektrodynamik wird traditionell in zwei große Bereiche aufgeteilt. Der erste handelt von ruhenden Ladungen und stationären Strömen und wird Elektro- und Magnetostatik genannt. Der zweite Teil befasst sich mit zeitveränderlichen elektromagnetischen Feldern. In diesem Abschnitt geht es um Elektro- und Magnetostatik, was nicht bedeutet, dass die elektrischen Ladungen immer ruhen. Vielmehr wird davon ausgegangen, dass sich die Ladungen grundsätzlich gleichförmig bewegen.

2.2.1 Der Quantinodruck bei gleichförmig bewegten Ladungen

Bei gleichförmig bewegten Ladungen gilt die Besonderheit, dass sich die Zentren der Emissionsringe $\vec{r}_c(t,\tau)$ immer genau dort befinden, wo sich gerade auch die Quellen aufhalten, d.h. mit $\vec{v}_s := \dot{\vec{r}}_s(\tau)$ als konstante Geschwindigkeit der Quelle ist
$$\vec{r}_c(t,\tau) = \vec{r}_s(t) = \vec{r}_s(\tau) + \vec{v}_s\,(t-\tau).$$ (2.2.1.1)
Setzt man dieses in die Gleichungen (2.1.11) und (2.1.12) ein, so erhält man
$$\vec{w}(\tau) = \frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(t)}{t-\tau}$$ (2.2.1.2)
und
$$\vec{u}(\tau) = \frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(t)}{t-\tau} - (\vec{v}_d - \vec{v}_s)$$ (2.2.1.3)
wobei $\vec{v}_d := \dot{\vec{r}}_d(t)$ für die konstante Geschwindigkeit der Empfängerladung steht.

Mit Hilfe der Gleichungen (2.2.1.2) und (2.2.1.3) kann der Quantinodruck (2.1.15) unter Verwendung der Substitution $T := t-\tau$ zu
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi} \,\int\limits_{0}^{\infty} \left\Vert\frac{\vec{r}}{T}-\vec{v}\right\Vert^2\,\frac{\vec{r}}{T}\,\sgn\left(\frac{r^2}{T}-\vec{r}\,\vec{v}\right) \,\Gamma\left(\frac{r}{T}\right)\,\frac{\intfunc_{0}^{c}\left(\left\Vert \frac{\vec{r}}{T}-\vec{v}\right\Vert\right)}{r^3}\,\d{T}$$ (2.2.1.4)
umgeformt werden. Aus Gründen der Bequemlichkeit wurden dabei die Abkürzungen $\vec{r} := \vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(t)$, $\vec{v} := \vec{v}_d-\vec{v}_s$ und $r := \Vert\vec{r}\Vert$ eingeführt. Der Intervallfunktion kann man sich entledigen, indem man sich überlegt, dass die untere Bedingung aufgrund der Betragsbildung des Argumentes sowieso immer gilt und die obere Bedingung dann erfüllt ist, wenn $T$ einen bestimmten Wert, nämlich
$$T_c = \frac{\sqrt{r^2 c^2 - \Vert\vec{r}\times\vec{v}\Vert^2} - \vec{r}\,\vec{v}}{c^2 - v^2}$$ (2.2.1.5)
überschreitet. Dabei ist zu beachten, dass der Ausdruck unter der Wurzel reell zu bleiben hat. Falls dieser Term jedoch imaginär wird, so besitzt die Bedingung in der Intervallfunktion überhaupt keine Lösung und liefert demzufolge im gesamten Integrationsgebiet Null. Dies wiederum hat einen verschwindenden Quantinodruck zur Folge. Mit Hilfe von $T_c$ ist es möglich Ausdruck (2.2.1.4) zu
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r}\,\int\limits_{T_c}^{\infty} \left\Vert\frac{\vec{r}}{T}-\vec{v}\right\Vert^2\,\frac{\Gamma\left(\frac{r}{T}\right)}{T\,r^2}\,\sgn\left(\frac{r^2}{T}-\vec{r}\,\vec{v}\right)\,\d{T}$$ (2.2.1.6)
vereinfachen.

Um das Integral lösen zu können, wird die Emissionsgeschwindigkeitsverteilung $\Gamma(w)$ durch eine Taylorreihe ausgedrückt, d.h. es wird der Ansatz
$$\Gamma(w) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \Gamma_k\,w^k$$ (2.2.1.7)
gewählt. Damit folgt
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \Gamma_k\,\mathcal{I}_k$$ (2.2.1.8)
mit
$$\mathcal{I}_k := \int\limits_{T_c}^{\infty} \left\Vert\frac{\vec{r}}{T}-\vec{v}\right\Vert^2\,\frac{r^{k-2}}{T^{k+1}}\,\sgn\left(\frac{r^2}{T}-\vec{r}\,\vec{v}\right)\,\d{T}.$$ (2.2.1.8)

Die Lösung der Integrale des Typs $\mathcal{I}_k$ ist nun ein rein mathematisches Problem. Wegen der Beziehung $\Vert\vec{x}\Vert^2 = \vec{x}\cdot\vec{x}$ gilt zunächst
$$\mathcal{I}_k = \int\limits_{T_c}^{\infty} \left(\frac{r^2}{T^2} - \frac{2\,\vec{r}\,\vec{v}}{T} + v^2\right)\,\frac{r^{k-2}}{T^{k+1}}\,\sgn\left(\frac{r^2}{T}-\vec{r}\,\vec{v}\right)\,\d{T}.$$ (2.2.1.9)
Durch Substitution von $r^2/T-\vec{r}\,\vec{v}$ mit $z$ folgt
$$\mathcal{I}_k = \frac{1}{r^{k+4}} \int\limits_{-\vec{r}\,\vec{v}}^{r^2/T_c-\vec{r}\,\vec{v}} (\vec{r}\,\vec{v} + z)^{k-1}\,\left(z^2 + r^2\,v^2 -(\vec{r}\,\vec{v})^2\right)\,\sgn\left(z\right)\,\d{z}.$$ (2.2.1.10)
Dieses Integral lässt sich mit Hilfe der Beziehung
$$\int\limits_{a}^{b}\,f(x)\,\sgn(x)\,\d{x} = \sgn(a)\int\limits_{a}^{0}f(x)\,\d{x} + \sgn(b)\int\limits_{0}^{b}f(x)\,\d{x}$$ (2.2.1.11)
lösen und man erhält nach etwas Umformen die finale Lösung
$$\begin{eqnarray}\mathcal{I}_k & = & \left(\sgn(\vec{r}\,\vec{v}) + \sgn\left(\frac{r^2}{T_c}-\vec{r}\,\vec{v}\right)\right) \left(\frac{(k+3)\,(\vec{r}\,\vec{v})^{k+2}}{(k+1)(k+2)\,r^{k+4}} - \frac{(\vec{r}\,\vec{v})^k\,v^2}{k\,r^{k+2}}\right) + \\ & & \sgn\left(\frac{r^2}{T_c}-\vec{r}\,\vec{v}\right) \left(\frac{r^k}{(k+2)\,T_c^{k+2}} - \frac{2\,r^{k - 2}\,\vec{r}\,\vec{v}}{(k+1)\,T_c^{k + 1}} + \frac{r^{k - 2}\,v^2}{k\, T_c^k}\right).\end{eqnarray}$$ (2.2.1.12)