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2.5 Die Schwerkraft als subatomarer thermodynamischer Effekt der Weberkraft

2.5.1 Das Plasmatröpfchen-Modell

In Abschnitt 2.2.1 wurde gezeigt, dass der Magnetismus in sehr anschaulicher und überzeugender Weise durch die Überlagerung der Einzelkräfte vieler bewegter elektrischer Einzelladungen erklärt werden kann (Siehe Abbildungen 2.2.2.1 und 2.2.3.1). In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass das Gleiche für die Gravitation gilt und dass sich daraus die Formel der Weber-Gravitation ergibt ([Tiandho2016], [Assis1992], [Wesley1990]).

Abbildung 2.5.1.1: Gibt es eine anziehende Kraft zwischen zwei solchen elektrisch neutralen Plasmatröpfchen?
Zu diesem Zweck wird ein Objekt postuliert, bei dem sich positive und negative Punktladungen innerhalb eines sehr kleinen Raumvolumens aufhalten. Beide Ladungsmengen sollen sich dabei in der Art eines idealen Gases in permanenter Bewegung befinden. Die Geschwindigkeit sei daher Maxwell-Boltzmann verteilt. Wir wollen dieses Plasmatröpfchen im Weiteren als "Punktmasse" bezeichnen. Die Temperaturen der negativen Ladungsmenge $\Theta_n$ und der positiven Ladungsmenge $\Theta_p$ sollen nicht zwangsläufig identisch sein. Gefordert wird nur, dass das Plasmatröpfchen als Ganzes gesehen nach außen hin elektrisch neutral ist, also keine Kraft auf eine externe ruhende Punktladung in einem beliebigen Abstand $r > 0$ ausübt. In diesem Abschnitt soll geklärt werden, ob eine Kraft zwischen zwei solcher Plasmatröpfchen auftritt. Abbildung 2.5.1.1 verdeutlicht die Modellvorstellung anhand einer Skizze, wobei im dargestellten Fall die Temperatur der positiven Ladungsmenge sehr viel kleiner ist, als die der negativen. Die Plasmatröpfchen sollen der Einfachheit halber keinen Eigendrehimpuls (Spin) besitzen.

Im ersten Schritt wird die Kraft zwischen zwei Ladungsmengen der Gesamtladung $q_s$ bzw. $q_d$ im Abstand $r$ berechnet. Da die Beträge der Geschwindigkeiten der Punktladungen in den Ladungsmengen Maxwell-Boltzmann verteilt sein sollen, sind die Geschwindigkeitskomponenten der Geschwindigkeiten $\vec{u}$ gaußverteilt. Die Geschwindigkeitsverteilung einer Ladungsmenge hat daher die Form
$$p_u(\vec{u},\nu) = g(\vec{u},\nu) = g(u_x,\nu)\cdot g(u_y,\nu)\cdot g(u_z,\nu)$$ (2.5.1.1)
wobei es sich bei $g(u,\nu)$ um die Gaußfunktion
$$g(u,\nu) = \frac{1}{\sqrt{2\,\pi\,\nu}}\,\exp\left(-\frac{u^2}{2\,\nu}\right)$$ (2.5.1.2)
handelt. Der Parameter
$$\nu = k_B\frac{\Theta}{m_e}$$ (2.5.1.3)
ist dabei die Geschwindigkeitsvarianz, $k_B$ die Boltzmann-Konstante und $m_e$ die träge Masse einer einzelnen Punktladung im Plasmatröpfchen (Siehe [Pfeifer1997], Seite 110 ff.).

Wir wollen nun die Potentielle Energie $V$ der Ladungsmenge $q_d$ im Feld der Ladungsmenge $q_s$ berechnen. Die Differenzgeschwindigkeit zwischen den beiden Ladungsmengen sei $\vec{v}$. Das Weber-Potential (2.2.1.1) einer Punktladung $q_d$ im Feld einer anderen Punktladung $q_s$ lautet in Vektorschreibweise
$$V_W(\vec{r},\vec{v}) = \left(1 + \kappa_2\,\left(\frac{\vec{r}\cdot\vec{v}}{r\,c}\right)^2 + \kappa_4\,\left(\frac{\vec{r}\cdot\vec{v}}{r\,c}\right)^4\right)\,\frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{1}{r}.$$ (2.5.1.4)
Für zwei Ladungmengen gilt damit
$$V_C = \iint\limits_{-\infty}^{+\infty}\,V_W(\vec{r},\vec{u}_s+\vec{u}_d-\vec{v})\,p_u(\vec{u}_s,\nu_s)\,p_u(\vec{u}_d,\nu_d)\,\d{\vec{u}_s}\,\d{\vec{u}_d}.$$ (2.5.1.5)
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass sowohl die Ladungsmenge $q_d$, als auch die Ladungsmenge $q_s$ auf der x-Achse liegen und den Abstand $r$ zueinander haben. Das Integral lautet dann
$$\begin{split}V_C = & \frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{1}{r}\,\iint\limits_{-\infty}^{+\infty}\,\left(1 + \kappa_2\,\frac{(u_{sx}+u_{dx}-v_x)^2}{c^2} + \right. \\ & \left. \kappa_4\,\frac{(u_{sx}+u_{dx}-v_x)^4}{c^4}\right)\,p_u(\vec{u}_s,\nu_s)\,p_u(\vec{u}_d,\nu_d)\,\d{\vec{u}_s}\,\d{\vec{u}_d}.\end{split}$$ (2.5.1.6)
Da der Term unter der Wurzel nicht von $u_{sy}$, $u_{sz}$, $u_{dy}$ und $u_{dz}$ abhängt und die Integration einer Gaußfunktion von $-\infty$ bis $+\infty$ immer Eins ergibt folgt weiter
$$\begin{split}V_C = & \frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{1}{r}\,\iint\limits_{-\infty}^{+\infty}\,\left(1 + \kappa_2\,\frac{(u_{sx}+u_{dx}-v_x)^2}{c^2} + \right. \\ & \left. \kappa_4\,\frac{(u_{sx}+u_{dx}-v_x)^4}{c^4}\right)\,g(u_{sx},\nu_s)\,g(u_{dx},\nu_d)\,\d u_{sx}\,\d u_{dx}.\end{split}$$ (2.5.1.7)
Die Lösung dieses Integrals lautet wegen $v_x = \dot{r}$ (die Zielladung liegt auf der x-Achse)
$$V_C = \xi(\nu_s + \nu_d,\dot{r})\,\frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{1}{r}$$ (2.5.1.8)
mit
$$\xi(\nu,\dot{r}) := 1 + \frac{\kappa_2}{c^2} \left(\dot{r}^2 + \nu\right) + \frac{\kappa_4}{c^4} \left(\dot{r}^4 + 6\,\dot{r}^2\,\nu + 3\,\nu^2\right).$$ (2.5.1.9)
Ein Vergleich des Ergebnisses (2.5.1.8) mit dem Weber-Potential (2.2.1.1) zeigt, dass weitere Terme hinzugekommen sind, die von den Varianzen $\nu_s$ und $\nu_d$ bzw. wegen Gleichung (2.5.1.3) von den Temperaturen $\Theta_s$ und $\Theta_d$ der Ladungsmengen abhängen.

Eine "Punktmasse" besteht im Plasmatröpfchen-Modell aus jeweils zwei Ladungsmengen. Die gesamte potentielle Energie $V_T$ eines Plasmatröpfchens im Feld eines anderen ist daher eine Summe aus vier Termen:
$$\begin{split}V_T = & \frac{q_{sp}\,q_{dp}}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r}\,\xi(\nu_{sp}+\nu_{dp},\dot{r}) + \frac{q_{sp}\,q_{dn}}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r}\,\xi(\nu_{sp}+\nu_{dn},\dot{r}) + \\ & \frac{q_{sn}\,q_{dp}}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r}\,\xi(\nu_{sn}+\nu_{dp},\dot{r}) + \frac{q_{sn}\,q_{dn}}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r}\,\xi(\nu_{sn}+\nu_{dn},\dot{r}).\end{split}$$ (2.5.1.10)
Damit eine solche "Punktmasse" elektrisch neutral ist, muss die potentielle Energie und damit auch die Kraft auf eine externe elektrische Ladung $q$ verschwinden. Wir setzen daher $q_{dn}=0$, $q_{dp}=q$ und $\nu_{dp} = 0$. Dadurch gelangen wir zu
$$V_T = \frac{q}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r}\,\left(q_{sp}\,\xi(\nu_{sp},\dot{r}) + q_{sn}\,\xi(\nu_{sn},\dot{r})\right).$$ (2.5.1.11)
Dieses Potential muss, wenn die Punktmasse elektrisch neutral sein soll, Null sein. Für den Fall, dass Punktmasse und Messladung ruhen folgt
$$q_{sp}\,\xi(\nu_{sp},0) + q_{sn}\,\xi(\nu_{sn},0) = 0.$$ (2.5.1.12)
Wir definieren nun
$$Q_s := \vert q_{sp}\vert + \vert q_{sn}\vert = q_{sp} - q_{sn}$$ (2.5.1.13)
als die Gesamtladungsmenge im felderzeugenden Plasmatröpfchen. Durch Einsetzen dieser Definition in Gleichung (2.5.1.12) folgt
$$\begin{split}q_{sn} & = -\frac{\xi(\nu_{sp},0)}{\xi(\nu_{sp},0) + \xi(\nu_{sn},0)}\,Q_s \\ & = -\frac{c^4 + c^2\,\kappa_2\,\nu_{sp} + 3\,\kappa_4\,\nu_{sp}^2}{2\,c^4 + c^2\,\kappa_2(\nu_{sn} + \nu_{sp}) + 3\,\kappa_4\, (\nu_{sn}^2 + \nu_{sp}^2)}\,Q_s\end{split}$$ (2.5.1.14)
und
$$\begin{split}q_{sp} & = +\frac{\xi(\nu_{sn},0)}{\xi(\nu_{sp},0) + \xi(\nu_{sn},0)}\,Q_s \\ & = +\frac{c^4 + c^2\,\kappa_2\,\nu_{sn} + 3\,\kappa_4\,\nu_{sn}^2}{2\,c^4 + c^2\,\kappa_2(\nu_{sn} + \nu_{sp}) + 3\,\kappa_4\, (\nu_{sn}^2 + \nu_{sp}^2)}\,Q_s.\end{split}$$ (2.5.1.15)
Der gleichen Logik folgend gilt
$$\begin{split}q_{dn} & = -\frac{\xi(\nu_{dp},0)}{\xi(\nu_{dp},0) + \xi(\nu_{dn},0)}\,Q_d \\ & = -\frac{c^4 + c^2\,\kappa_2\,\nu_{dp} + 3\,\kappa_4\,\nu_{dp}^2}{2\,c^4 + c^2\,\kappa_2(\nu_{dn} + \nu_{dp}) + 3\,\kappa_4\, (\nu_{dn}^2 + \nu_{dp}^2)}\,Q_d\end{split}$$ (2.5.1.16)
und
$$\begin{split}q_{dp} & = +\frac{\xi(\nu_{dn},0)}{\xi(\nu_{dp},0) + \xi(\nu_{dn},0)}\,Q_d \\ & = +\frac{c^4 + c^2\,\kappa_2\,\nu_{dn} + 3\,\kappa_4\,\nu_{dn}^2}{2\,c^4 + c^2\,\kappa_2(\nu_{dn} + \nu_{dp}) + 3\,\kappa_4\, (\nu_{dn}^2 + \nu_{dp}^2)}\,Q_d\end{split}$$ (2.5.1.17)
mit
$$Q_d := \vert q_{dp}\vert + \vert q_{dn}\vert = q_{dp} - q_{dn}.$$ (2.5.1.18)


Dies setzen wir nun in die potentielle Energie (2.5.1.10) ein. Wir wollen dabei annehmen, dass die Geschwindigkeitsvarianzen $\nu_{dn}$, $\nu_{dp}$, $\nu_{sn}$ und $\nu_{sp}$ klein im Vergleich zum Quadrat der Lichtgeschwindkeit sind. Wir ersetzen daher anschließend alle Vorkommen von $\nu_{**}$ mit jeweils $s\,\nu_{**}$ und entwickeln den Ausdruck nach $s$ am Punkt $0$ in eine Taylorreihe, die wir nach dem Glied zweiter Ordnung abbrechen. Zum Abschluss setzen wir $s$ wieder zu Eins. Das Ergebnis lautet dann
$$\begin{split}V_T \approx & -\left[\frac{c^4 (\kappa_2^2 - 6\,\kappa_4) + 6\,c^2\,\kappa_2 \kappa_4\,\dot{r}^2 + 30\,\kappa_4^2\,\dot{r}^4}{c^4 + c^2\,\kappa_2\,\dot{r}^2 + \kappa_4\,\dot{r}^4}\right]\cdot \\ & \left[\frac{Q_s\, (\nu_{sn} - \nu_{sp})}{4\,c^2\,\sqrt{\varepsilon_0\,\pi}}\right]\,\left[\frac{Q_d\,(\nu_{dn} - \nu_{dp})}{4\,c^2\,\sqrt{\varepsilon_0\,\pi}}\right]\,\frac{1}{r}.\end{split}$$ (2.5.1.19)
Zu guter Letzt approximieren wir diese Gleichung auch noch bezüglich der Radialgeschwindigkeit $\dot{r}$ durch eine abgebrochene Taylorreihe zweiter Ordnung. Dadurch gelangen wir zu
$$\begin{split}V_T \approx & -\left[\left(\kappa_2^2 - 6\,\kappa_4\right) - \kappa_2\,\left(\kappa_2^2 - 12\,\kappa_4\right)\,\frac{\dot{r}^2}{c^2}\right] \cdot \\ & \left[\frac{Q_s\, (\nu_{sn} - \nu_{sp})}{4\,c^2\,\sqrt{\varepsilon_0\,\pi}}\right]\,\left[\frac{Q_d\,(\nu_{dn} - \nu_{dp})}{4\,c^2\,\sqrt{\varepsilon_0\,\pi}}\right]\,\frac{1}{r}.\end{split}$$ (2.5.1.20)
Wir definieren nun die Parameter
$$M_s := \sqrt{\frac{\kappa_2^2 - 6\,\kappa_4}{16\,G\,\varepsilon_0\,\pi}}\,\frac{Q_s\,(\nu_{sn} - \nu_{sp})}{c^2}$$ (2.5.1.21)
und
$$M_d := \sqrt{\frac{\kappa_2^2 - 6\,\kappa_4}{16\,G\,\varepsilon_0\,\pi}}\,\frac{Q_d\,(\nu_{dn} - \nu_{dp})}{c^2}$$ (2.5.1.22)
mit $G$ als die Gravitationskonstante. Damit lässt sich die potentielle Energie (2.5.1.20) für $\kappa_2^2 - 6\,\kappa_4 > 0$ umschreiben zu
$$V_T \approx -\left[1 - \frac{\kappa_2\,\left(\kappa_2^2 - 12\,\kappa_4\right)}{\left(\kappa_2^2 - 6\,\kappa_4\right)}\,\frac{\dot{r}^2}{c^2}\right]\,\frac{G\,M_s\,M_d}{r}.$$ (2.5.1.23)
Dies entspricht einem Weber-Potential
$$V_T = -\left(1 - \kappa_G\,\frac{\dot{r}^2}{c^2}\right)\,\frac{G\,M_s\,M_d}{r}$$ (2.5.1.24)
mit
$$\kappa_G := \frac{\kappa_2\,\left(\kappa_2^2 - 12\,\kappa_4\right)}{\left(\kappa_2^2 - 6\,\kappa_4\right)}.$$ (2.5.1.25)
Durch Einsetzen der elektrischen Parameter (2.2.1.2) gelangt man zu
$$\kappa_G = 3.$$ (2.5.1.26)


Aus der potentiellen Energie (2.5.1.24) lässt sich durch Anwendung der Formel (4.4.1) die zugehörige Kraft ableiten. Diese lautet
$$\vec{F}_T = -\left(1 - \kappa_G\,\frac{\dot{r}^2}{c^2} + 2\,\kappa_G\,\frac{r\,\ddot{r}}{c^2}\right)\,G\,M_s\,M_d\,\frac{\vec{r}}{r^3}.$$ (2.5.1.27)
Durch Verwendung der Beziehungen (2.2.1.6) und (2.2.1.7) gelangt man schließlich zur Vektorform
$$\begin{split}\vec{F}_T = & -G\,M_s\,M_d\,\left(1 + 2\,\kappa_G\,\frac{v^2}{c^2} - 3\,\kappa_G\, \left(\frac{\vec{r}}{r}\,\frac{\vec{v}}{c}\right)^2 + \right. \\ & \left. 2\,\kappa_G\, \frac{\vec{r}\cdot\vec{a}}{c^2}\right)\,\frac{\vec{r}}{r^3}\end{split}$$ (2.5.1.28)
mit $\vec{v} := \dot{\vec{r}}$ und $\vec{a} := \ddot{\vec{r}}$.

Es ist bemerkenswert, dass die Formel (2.5.1.28) für $\vec{v}=0$ und $\vec{a}=0$ bzw. für $c \to \infty$ genau der Kraft entspricht, die in der newtonschen Mechanik eine Masse $M_s$ auf eine andere Masse $M_d$ ausübt. Das legt die Vermutung nahe, dass es sich bei der Gravitation, genau wie beim Magnetismus, um einen elektrischen Mehrteilcheneffekt handelt. Die Ursache der Kraft ist diesmal jedoch kein Ungleichgewicht im Geschwindigkeitsmittelwert zweier Ladungsmengen, sondern ein Ungleichgewicht in der Geschwindigkeitsvarianz, also der Temperatur. In den nachfolgenden Abschnitten wird untersucht, ob diese Hypothese zu weiteren Effekten passt, welche im Zusammenhang mit der Gravitation bekannt sind.