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2.3 Experimentelle Unterscheidung

In den vorangegangenen Abschnitten wurde gezeigt, dass in der klassischen maxwellschen Elektrodynamik ernste logische Probleme enthalten sind. Diese werden erst klar offensichtlich, wenn man die Maxwellgleichungen für Punktladungen löst und aus dem $E$- und $B$-Feld die Kraft zwischen zwei langsam gleichförmig bewegten Punktladungen berechnet. Eine genaue Analyse zeigt dann, dass die derartig berechnete Kraft physikalisch wenig Sinn ergibt. Des Weiteren wird deutlich, dass die magnetische Kraft durch die maxwellsche Elektrodynamik nicht erklärt, sondern lediglich postuliert wird, da sie bereits bei idealen Punktladungen auftritt. Ein tieferer Grund für das Entstehen der magnetischen Kraft wird weder von der maxwellschen Elektrodynamik noch von der speziellen Relativitätstheorie geliefert.

Im Gegensatz dazu lässt sich in der Weber-Elektrodynamik (2.2.1.5) die magnetische Kraft vollständig auf die relativistische Verformung des elektrischen Feldes zurückführen. Des Weiteren sind hier alle Erhaltungssätze der Physik erfüllt, was die Existenz von magnetischen Perptuum Mobiles oder Reactionless Drives im Gegensatz zur Maxwell-Elektrodynamik kategorisch ausschließt. Die Weber-Elektrodynamik scheint also in sich stimmiger und physikalischer zu sein. Was noch fehlt, ist eine Möglichkeit klar experimentell zu entscheiden, welche der beiden Elektrodynamiken korrekt ist. Dieses ist um so dringender, da die beinahe vergessene Weber-Elektrodynamik einen von der Maxwell-Elektrodynamik grundsätzlich abweichenden Ausgangspunkt für die gesamte moderne Physik darstellt, die sich, wie immer wieder beklagt wird, in einer tiefen Krise befindet.

2.3.1 Magnetische Kräfte in einer Drahtlücke

Die magnetische Kraft eines Stromelements auf eine frei bewegliche Punktladung ist in der Maxwellschen Elektrodynamik durch die Gleichung (2.1.2.5) gegeben. In der Weberschen Elektrodynamik gilt hingegen Gleichung (2.2.2.4). Trotz dieser beiden verschiedenen Grundformeln ist die Kraft zwischen zwei geschlossenen Leiterschleifen beliebiger Form und in beliebigem Abstand identisch. Eine Entscheidung zwischen Maxwell- und Weber-Elektrodynamik ist auf Basis der Messung von Kräften zwischen geschlossenen Leiterschleifen somit nicht möglich. Allerdings unterschieden sich die vorhergesagten Kräfte, wenn die Leiterbahnen nicht geschlossen sind. Dieses wird in diesem Abschnitt gezeigt und diskutiert.

Die Kraft eines Stromelements auf ein anderes Stromelement ist die Summe der Kraft des Stromelements auf eine positive Punktladung $q_d$ am Ort $\vec{r}$ mit der Geschwindigkeit $\vec{v}_d/2$ und der Kraft auf eine umgekehrt gleich große Punktladung am gleichen Ort mit der entgegen gerichteten Geschwindigkeit. In der Maxwellschen Elektrodynamik gilt für diese Kraft wegen $q_d\,\vec{v}_d/2 + (-q_d)\,(-\vec{v}_d/2) = q_d\,\vec{v}_d$ die Gleichung (2.1.2.5), d.h.
$$\vec{F}_{M}(\vec{r}) = \frac{\mu_0\,q_s\,q_d}{4\,\pi\,\,r^3}\,\vec{r}\times\vec{v}_s\times\vec{v}_d.$$ (2.3.1.1)
In der Weber-Elektrodynamik ist diese Kraft entsprechend durch die Gleichung (2.2.2.4) gegeben und es gilt
$$\vec{F}_{W}(\vec{r}) = \frac{\mu_0\,q_s\,q_d}{4\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\left(3\,\left(\frac{\vec{r}}{r}\,\vec{v}_s\right)\left(\frac{\vec{r}}{r}\,\vec{v}_d\right)-2\,\vec{v}_s\,\vec{v}_d\right).$$ (2.3.1.2)
Um zur Kraft eines Drahtes auf ein Stromelement zu gelangen, muss das Wegintegral entlang des Drahtes berechnet werden.

Es sollen nun zwei Kräfte berechnet werden, nämlich Natürlich ist in solchen Drahtsegmenten kein permanenter Stromfluss möglich, da sich durch den Stromfluss die elektrische Gesamtladung mit der Zeit verändert. Auf kurzen Zeitskalen betrachtet ist der Stromfluss jedoch hinreichend gleichförmig, sodass die gesamte Anordnung als quasi-stationär betrachtet werden kann.

Das Feld dieser beiden Blinddrähte lässt sich im Falle der Maxwell-Elektrodynamik im Übrigen nicht nur durch Integration bestimmen, sondern auch direkt aus den Maxwellgleichungen herleiten. Dies ist jedoch deutlich aufwendiger, wie der Abschnitt 2.3.2 zeigt. Mit $q_s\to\lambda_s$ und $I_s = \lambda_s\,v_s\,\vec{e}_x$ folgt für die Maxwell-Elektrodynamik
$$\begin{split}\vec{F}_{IM}^{(\pm)}(\vec{r},\vec{v}_d) = & \,\int\limits_{0}^{\infty} \vec{F}_{M}(\vec{r} \pm s\,\vec{e}_x)\,\d{s} \\ = & \,\frac{\mu_0\,I_s\,q_d\,\vec{r}\times\vec{e}_x\times\vec{v}_d}{4\,\pi\,r\,(r \pm x)}. \end{split}$$ (2.3.1.3)
Für die Weber-Elektrodynamik ergibt sich hingegen
$$\begin{split}\vec{F}_{IW}^{(\pm)}(\vec{r},\vec{v}_d) = & \,\int\limits_{0}^{\infty} \vec{F}_{W}(\vec{r} \pm s\,\vec{e}_x)\,\d{s} \\ = & \, \vec{F}_{IM}^{(\pm)}(\vec{r},\vec{v}_d) \pm \frac{\mu_0\,I_s\,q_d\,(\vec{r}\cdot\vec{v}_d)\,\vec{r}}{4\,\pi\,r^3} , \end{split}$$ (2.3.1.4)
also dass gleiche Ergebnis wie in der Maxwellschen Elektrodynamik zuzüglich eines Zusatzterms. Das Pluszeichen gilt dabei jeweils für den Draht links von der y-z-Ebene und das Minuszeichen für den Draht rechts davon.

Die Abbildung 2.3.1.1 zeigt jeweils die Felder dieser Kraft im Falle eines sich positiv aufladenden Blinddrahtes auf Stromelemente mit Fließrichtung nach rechts. In Abbildung 2.3.1.2 ist das Feld jeweils für Stromelemente mit Fließrichtung nach oben dargestellt. Beide Abbildungen zeigen, dass die Felder sich nach links hin immer stärker ähneln. Dort wo der Draht endet unterscheiden sich die Felder jedoch. Dieses bietet ein Merkmal, anhand dessen sich die beiden Ansätze prinzipiell unterscheiden lassen.

Abbildung 2.3.1.1: Das Feld der Kraftwirkung einer Metallstange (grau) die gerade positiv aufgeladen wird auf nach rechts ausgerichtete Stromelemente in der Maxwell-Elektrodynamik (oben) und in der Weber-Elektrodynamik (unten) zum Vergleich.
Abbildung 2.3.1.2: Das Feld der Kraftwirkung einer Metallstange (grau) die gerade positiv aufgeladen wird auf nach oben ausgerichtete Stromelemente in der Maxwell-Elektrodynamik (oben) und in der Weber-Elektrodynamik (unten) zum Vergleich.
Die Formeln (2.3.1.3) und (2.3.1.4) beschreiben die Kraft des Blinddrahtes auf Stromelemente. Für Experimente ist aber vielmehr von Interesse, welche Kraft und welches Drehmoment auf einen kleinen Permanentmagneten wirkt, da ein solcher nicht von einer elektrischen Aufladung beeinflusst wird. Beides wird im nachfolgenden berechnet. Dazu wird angenommen, dass sich am Ort $\vec{r}$ eine sehr kleine Leiterschleife mit dem magnetischen Dipolmoment $\vec{\mu}$ befindet (äquivalent zu einem kleinen Permanentmagneten). Die Abbildung 2.3.1.3 zeigt die Anordnung in Form einer Skizze.

Abbildung 2.3.1.3
Es seien $\vec{e}_a$ und $\vec{e}_b$ zwei zueinander senkrechte Einheitsvektoren für welche die Gleichung
$$\vec{e}_a \times\vec{e}_b = \vec{\mu}/\mu$$ (2.3.1.5)
gilt. Für die Gesamtkraft $\vec{F}_L$ auf eine Leiterschleife mit dem Radius $R$ folgt dann, wie man sich anhand der Skizze 2.3.1.3 überlegen kann, die Gleichung
$$\vec{F}_L = R\,\int\limits_{0}^{2\,\pi} \vec{F}_I\left(\vec{r}+R\,\vec{e}_{\phi}\left(\phi\right), \frac{I_d}{\lambda_d}\,\vec{e}_{\phi}\left(\phi+\pi/2\right)\right)\,\d{\phi}$$ (2.3.1.6)
mit $q_d \to \lambda_d$,
$$\vec{e}_{\phi}(\phi) := \vec{e}_a \cos(\phi) + \vec{e}_b \sin(\phi)$$ (2.3.1.7)
und
$$\mu = I_d\,\pi\,R^2.$$ (2.3.1.8)
Für das Drehmoment $\vec{M}_L$ folgt ganz äquivalent entsprechend der Skizze das Kurvenintegral
$$\vec{M}_L = R^2\,\int\limits_{0}^{2\,\pi} \vec{e}_{\phi}\left(\phi\right) \times \vec{F}_I\left(\vec{r}+R\,\vec{e}_{\phi}\left(\phi\right), \frac{I_d}{\lambda_d}\,\vec{e}_{\phi}\left(\phi+\pi/2\right)\right)\,\d{\phi}.$$ (2.3.1.9)
Um die komplizierten Integrale jeweils für die Kräfte (2.3.1.3) und (2.3.1.4) lösen zu können ist es sinnvoll zunächst auszunutzen, dass der Radius $R$ der Leiterschleife sehr klein ist, was eine Taylorapproximation ersten Grades von $\vec{F}_I$ an der Stelle Null erlaubt. Die so gewonnene Näherung lässt sich dann entsprechend einsetzen und man erhält für die Maxwell-Elektrodynamik unter Ausnutzung der Gleichungen (2.3.1.5) und (2.3.1.8) die Kraft
$$\begin{split}\vec{F}_{LM}^{(\pm)}(\vec{r}) = & \frac{\mu_0\,I_s}{4\,\pi\,r^3} \left(\frac{r^2}{r \pm x}\vec{\mu}\times\vec{e}_x + \right. \\ & \left. \frac{(2\,r \pm x)\,\vec{r} \pm r^2\,\vec{e}_x}{(r \pm x)^2} (\vec{\mu}\times\vec{r})\cdot\vec{e}_x \right).\end{split}$$ (2.3.1.10)
Aus der Weber-Elektrodynamik folgt hingegen die Kraft
$$\vec{F}_{LW}^{(\pm)}(\vec{r}) = \vec{F}_{LM}^{(\pm)}(\vec{r}) \pm \frac{\mu_0\,I_s\,\vec{r}\times\vec{\mu}}{4\,\pi\,r^3}.$$ (2.3.1.11)
Für das Drehmoment erhält man nach Berechnung des Integrals (2.3.1.9) und Zusammenfassen der Terme für die Maxwell-Elektrodynamik die Lösung
$$\vec{M}_{LM}^{(\pm)}(\vec{r}) = \frac{\mu_0\,I_s\,\vec{r}\times\vec{e}_x\times\vec{\mu}}{4\,\pi\,r\,(r \pm x)}.$$ (2.3.1.12)
Für die Elektrodynamik nach Weber folgt
$$\vec{M}_{LW}^{(\pm)}(\vec{r}) = \vec{M}_{LM}^{(\pm)}(\vec{r}) \pm \frac{\mu_0\,I_s\,\vec{r}\times\vec{\mu}\times\vec{r}}{4\,\pi\,r^3}.$$ (2.3.1.13)


In den Abbildungen 2.3.1.4 und 2.3.1.5 wird jeweils das Gesamtfeld der beiden etwas auseinander geschobenen Drähte auf einen Dauermagneten mit Ausrichtung des Nordpols in die Zeichenebene hinein dargestellt. Beide Drähte bilden zusammen einen Kondensator geringer Kapazität.
Abbildung 2.3.1.4: Die Kraftwirkung eines Stroms in der Drahtlücke auf einen Permanentmagneten mit Nordpol in die Zeichenebene hinein zeigend nach Maxwell.
Abbildung 2.3.1.5: Die Kraftwirkung eines Stroms in der Drahtlücke auf einen Permanentmagneten mit Nordpol in die Zeichenebene hinein zeigend nach Weber.
Die Breite des Luftspalts sei $d$, d.h. die Gesamtkraft beträgt jeweils
$$\vec{F}_{T}(\vec{r}) = \vec{F}_{L}^{(+)}(\vec{r}-d/2\,\vec{e}_x) + \vec{F}_{L}^{(-)}(\vec{r}+d/2\,\vec{e}_x).$$ (2.3.1.14)
Es ist offensichtlich, dass in der Mitte der Drahtlücke Kräfte wirken, die sich vom Vorzeichen her unterscheiden. Für die Maxwell-Elektrodynamik gilt mit $\vec{\mu} = \mu\,\vec{e}_y$ (Nordpol zeigt in die Zeichenebene)
$$\vec{F}_{TM}(\vec{0}) = -\frac{\mu_0\,I_s\,\mu}{\pi\,d^2}\,\vec{e}_z,$$ (2.3.1.15)
während die Weber-Elektrodynamik die Kraft
$$\vec{F}_{TW}(\vec{0}) = +\frac{\mu_0\,I_s\,\mu}{\pi\,d^2}\,\vec{e}_z$$ (2.3.1.16)
vorhersagt. Beide Elektrodynamiken führen hier demzufolge zu gegensätzlichen Aussagen, was eine Messung dieser Kraft als Experiment zur Unterscheidung prädestiniert erscheinen lässt. Ein solches Experiment hat der Autor vor Kurzem durchgeführt. Die Messergebnisse bestätigen die Weber-Elektrodynamik und widerlegen die Maxwell-Elektrodynamik.

Auch beim Drehmoment zeigt sich eine Besonderheit. Die Abbildungen 2.3.1.6 und 2.3.1.7 zeigen das Drehmoment eines Blinddrahtes auf einen Permanentmagnet, bei dem der Nordpol in Richtung der z-Achse zeigt. Wie zu erkennen ist, gibt es in der Maxwellschen Elektrodynamik nirgendwo ein Drehmoment welches parallel zum magnetischen Moment ausgerichtet ist. In der Weber-Elektrodynamik gibt es hingegen dann ein solches Drehmoment, wenn der Magnet direkt am Ende des Drahtes positioniert ist.

Abbildung 2.3.1.6: Das Drehmoment eines Stroms in der Drahtlücke auf einen Permanentmagneten mit Nordpol in z-Richtung zeigend nach Maxwell.
Abbildung 2.3.1.7: Die Drehmoment eines Stroms in der Drahtlücke auf einen Permanentmagneten mit Nordpol in z-Richtung zeigend nach Weber.
Das ist im Übrigen sehr bemerkenswert, da dies den Rahmen sprengt, welcher vom magnetischen Feldlinienkonzept vorgegeben wird! Anderseits ist ein solches Drehmoment erforderlich, um die Erhaltung des Gesamtdrehimpulses sicher zu stellen, da der Magnet ebenfalls einen Drehimpuls auf den Draht erzeugt. Eine ähnliche Aussage gilt für die magnetische Kraft im Luftspalt, da nur bei der Weber-Elektrodynamik die Impulserhaltung erfüllt ist.

2.3.2 Berechnung des Feldes eines sich aufladenden Blinddrahtes auf Basis der Maxwellgleichungen

In diesem Abschnitt wird das im Abschnitt zuvor berechnete Feld noch einmal direkt mit Hilfe der Maxwellgleichungen bestimmt. Dies dient vor allem dazu zu zeigen, dass die Grundaussage der Maxwellgleichungen zu den zuvor berechneten Kraftwirkungen nicht vom Lösungsweg abhängt.

Für die nachfolgende Berechnung wird der volle Satz der Maxwellgleichungen im Vakuum verwendet:
$$\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$ (2.3.2.1)
$$\nabla\cdot\vec{B} = 0$$ (2.3.2.2)
$$\nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$$ (2.3.2.3)
$$\nabla\times\vec{B} = \mu_0\,\vec{j} + \mu_0\,\varepsilon_0\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.$$ (2.3.2.4)
Gesucht ist das elektromagnetische Feld eines stromführenden Drahtes, welcher genau auf der x-Achse liegt, irgendwo weit links beginnt und genau am Koordinatenursprung endet. Es ist offensichtlich, dass der Draht aufgrund des Stromflusses und der Unterbrechung nicht elektrisch neutral bleiben kann, sondern sich zeitlich aufladen oder entladen muss. Dadurch entsteht ein zeitveränderliches elektrisches Feld, welches wiederum im Durchflutungsgesetz (2.3.2.4) berücksichtigt werden muss.

Als Modell der Stromdichte des Blinddrahtes wird der Ansatz
$$\vec{j} = \frac{I_s}{2}\,\left(1 - \mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2\,\nu}}\right)\right)\,g(y,\nu)\,g(z,\nu)\,\vec{e}_x$$ (2.3.2.5)
verwendet. Dabei steht $I_s$ für die Stromstärke, $g$ für die Gaussfunktion entsprechend der Defintion (2.5.1.2) und $\nu$ für die Varianz, die für einen realen Draht sehr klein sein kann. Grundsätzlich wäre an dieser Stelle auch ein Ansatz unter Verwendung von Distributionen denkbar gewesen. Der Ansatz (2.3.2.5) besitzt jedoch den Vorteil, dass keine Singularitäten vorhanden sind, wodurch sichergestellt wird, dass die Felder an allen Stellen stetig differenzierbar sind. Ein Übergang zu Distributionen kann nach Finden der Lösungen durch den Grenzwertübergang $\nu \to 0$ jederzeit nachgeholt werden.

Ein Einsetzen des Ansatzes (2.3.2.5) in die Kontinuitätsgleichung
$$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\vec{j} = 0$$ (2.3.2.6)
liefert die Ladungsdichte
$$\rho = -\int\,\nabla\cdot\vec{j}\,\d{t} = \frac{I_s\,t}{\sqrt{2\,\pi\,\nu}^{3}}\,e^{-\frac{r^2}{2\,\nu}}$$ (2.3.2.7)
mit $r^2 = x^2+y^2+z^2$, wobei angenommen wird, dass der Draht zum Zeitpunkt $t=0$ elektrisch neutral ist. Die berechnete Ladungsdichte zeigt, dass sich der Draht dort elektrisch auflädt, wo er endet, da der Strom hier nicht weiterfließen kann.

Um das elektrische Feld dieser Aufladung zu ermitteln, wird die erste Maxwellgleichung in integraler Form
$$\varepsilon_0\,\iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec A = \iiint_{V} \rho \ \mathrm{d}V.$$ (2.3.2.8)
verwendet. Das Integral auf der rechten Seite entspricht der Ladung $Q$, die in das Volumen eingeschlossen ist. Wählt man als Volumen eine Kugel mit dem Radius $R$ so ist
$$Q = \int\limits_{0}^{2\,\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{R}\rho\,r^2\,\sin(\theta)\,\d{r}\,\d{\theta}\,\d{\phi},$$ (2.3.2.9)
d.h.
$$Q = I_s\,t\,\left(\mathrm{erf}\left(\frac{R}{\sqrt{2\,\nu}}\right) - \sqrt{\frac{2}{\pi\,\nu}}\,R\,e^{-\frac{R^2}{2\,\nu}}\right).$$ (2.3.2.10)
Aufgrund der Kugelsymmetrie der Ladungsverteilung $\rho$ lässt sich schlussfolgern, dass auch das elektrische Feld $\vec{E}$ radialsymmetrisch ist und die Feldlinien immer senkrecht zur Kugeloberfläche ausgerichtet sind. Das Integral auf der rechten Seite der Gleichung (2.3.2.8) lässt sich daher sofort lösen und man gelangt zu
$$\varepsilon_0\,\iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec A = \varepsilon_0\,E\,4\,\pi\,R^2.$$ (2.3.2.11)
Aus den Ergebnissen (2.3.2.10) und (2.3.2.11) und der Symmetrie folgt dann
$$\vec{E} = \frac{I_s\,t\,\vec{r}}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r^3}\,\left(\mathrm{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2\,\nu}}\right) - \sqrt{\frac{2}{\pi\,\nu}}\,r\,e^{-\frac{r^2}{2\,\nu}}\right).$$ (2.3.2.12)

Als nächstes kann die magnetische Flussdichte $\vec{B}$ mit Hilfe der vierten Maxwellgleichung (2.3.2.4) bestimmt werden. Dazu wird die Stromdichte (2.3.2.5) und das elektrische Feld (2.3.2.12) eingesetzt. Anschließend lässt sich Poincarés-Lemma anwenden und man gelangt zu
$$\begin{split}\vec{B} = & \frac{I_s\,\mu_0}{4\,\pi\,(r^2 -x^2)}\,\left(1 - \frac{x}{r}\,\mathrm{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2\,\nu}}\right) - \right. \\ & \left. e^{-\frac{r^2 - x^2}{2\,\nu}} \left(1 - \mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2\,\nu}}\right)\right)\right)\,\vec{e}_x\times\vec{r}.\end{split}$$ (2.3.2.13)

Ein Einsetzen der Gleichungen (2.3.2.5), (2.3.2.12) und (2.3.2.13) in die vier Maxwellgleichungen (2.3.2.1) bis (2.3.2.4) zeigt, dass alle Bedingungen erfüllt sind. Die Gleichungen (2.3.2.12) und (2.3.2.13) beschreiben damit die Felder, welche sich entsprechend der Maxwellschen Elektrodynamik beim langsamen Aufladen des Blinddrahtes ergeben.

Zum Abschluss lassen sich die Ergebnisse noch durch den Grenzwertübergang $\nu\to 0$ vereinfachen. Dabei folgt für die Stromdichte
$$\vec{j} = I_s\,\left(1 - \Theta\left(x\right)\right)\,\delta(y)\,\delta(z)\,\vec{e}_x$$ (2.3.2.14)
die elektrische Feldstärke
$$\vec{E} = \frac{I_s\,t\,\vec{r}}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r^3}$$ (2.3.2.15)
und die magnetische Flussdichte
$$\vec{B} = \frac{I_s\,\mu_0}{4\,\pi\,(r^2 -x^2)}\,\left(1 - \frac{x}{r}\right)\,\vec{e}_x\times\vec{r} = \frac{I_s\,\mu_0\,\vec{e}_x\times\vec{r}}{4\,\pi\,r\,(r + x)}.$$ (2.3.2.16)
Wegen
$$\lim\limits_{x\to-\infty} r(r+x) = \frac{1}{2}(y^2 + z^2)$$ (2.3.2.17)
und
$$\lim\limits_{x\to-\infty} \vec{e}_x\times\vec{r} = \vec{e}_x\times\vec{r}$$ (2.3.2.18)
geht dieses Magnetfeld links von der y-z-Ebene in das gewohnte Feld eines Linienstroms über. Auf der rechten Seite nimmt die Stärke des Feldes hingegen mit dem Quadrat des Abstandes zur y-z-Ebene ab, behält aber ansonsten seine Form und Ausrichtung unverändert bei, genau so, als ob der Strom noch etwas über die y-z-Ebene hinausfließen würde. Dieses wurde auch schon im Abschnitt 2.1.2 festgestellt.

Verwendet man zum Abschluss noch das Lorentzkraftgesetz
$$\vec{F} = q_d\,\vec{E} + q_d\,\vec{v}_d\times\vec{B},$$ (2.3.2.19)
so gelangt man durch Einsetzen der Gleichungen (2.3.2.15) und (2.3.2.16) zu der Kraft
$$\vec{F} = \frac{q_d\,I_s\,t\,\vec{r}}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r^3} + \frac{q_d\,I_s\,\mu_0\,\vec{r}\times\vec{e}_x\times\vec{v}_d}{4\,\pi\,r\,(r + x)},$$ (2.3.2.20)
die der Blinddraht nach Aussage der Maxwellgleichungen auf eine Punktladung $q_d$ mit der Geschwindigkeit $\vec{v}_d$ ausübt.