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1.4 Schwingungen im Quantinofeld

1.4.1 Die Berechnung der effektiven Quantinodichte

In diesem Abschnitt wird die im vorherigen Abschnitt hergeleitete Formel (1.3.9) anhand eines wichtigen Beispiels, dem Hertzschen Dipol, analysiert. Ein Hertzscher Dipol besteht aus zwei umgekehrt gleich großen Ladungen - in diesem Fall wird von zwei Elementarladungen ausgegangen - die sich der Einfachheit halber beide am Koordinatenursprung befinden. Es wird angenommen, dass beide Ladungen zu Anfang ruhen. Ab $t=0$ soll die negative Ladung jedoch damit beginnen, um den Nullpunkt herum in Richtung der z-Achse (in Abbildung 1.4.2.1 also nach oben und unten) zu schwingen. Für die Geschwindigkeit der negativen Ladung gilt daher die Beziehung
$$\dot{\vec{r}}_{s}^{(-)}(t) = l\,\omega\,\vec{e}_z\,\intfunc_{0}^{\infty}(t)\, \cos(\omega t).$$ (1.4.1.1)
Damit die Berechnung einfach bleibt, wird weiter angenommen, dass die Auslenkung $l$ so klein ist, dass sie keine Rolle spielt. Tatsächlich ist diese Näherung in der Praxis meist sehr gut erfüllt, da sich die Schwingungen des elektromagnetischen Feldes oft über viele hundert Kilometer weit in den Raum hinaus ausbreiten, die Auslenkung der Ladungen für gewöhnlich aber nur Bruchteile von Millimetern erreicht.

Aufgrund dieser Näherung gilt
$$\vec{r}_s^{(-)}(\tau) = l\,\vec{e}_z\,\intfunc_{0}^{\infty}(t)\, \sin(\omega t) \approx 0.$$ (1.4.1.2)
Setzt man das in die Formel (1.3.1) ein, so erhält man die Gleichung der Emissionsringe
$$\vec{r}_c^{(-)}(t,\tau) = l\,\omega\,\vec{e}_z\,\intfunc_{0}^{\infty}(\tau)\, \cos(\omega \tau)(t-\tau).$$ (1.4.1.3)
Dieses kann wiederum in Gleichung (1.3.9) eingesetzt werden. Es folgt
$$p_e^{(-)}(t) = \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \int\limits_{-\infty}^{t} \frac{\intfunc_{0}^{c}\left(\frac{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,\tau\Vert}{t-\tau}\right)}{(t-\tau)^2\,\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t-l\,\omega\,\vec{e}_z\,\intfunc_{0}^{\infty}(\tau)\, \cos(\omega \tau)(t-\tau)\Vert}\,\d{\tau}$$ (1.4.1.4)
wobei $\vec{r}_0 + \vec{v}\,t$ die Bewegungsgleichung $\vec{r}_d(t)$ des Empfängers ist. Der Rest dieses Abschnittes beschäftigt sich damit, Formel (1.4.1.4) zu vereinfachen.

Zunächst entledigt man sich der Intervallfunktion über dem Bruchstrich, indem man ausnutzt, dass die untere Grenze ohne Bedeutung ist, da das Argument der Intervallfunktion aufgrund der Betragsbildung und wegen $t\geq\tau$ niemals kleiner werden kann als $0$. Die obere Grenze ist hingegen erreicht, wenn $\tau$ den Wert
$$\tau_c = \frac{c^2\,t + \vec{r}_0 \vec{v} - \sqrt{(\vec{r}_0 \vec{v})^2 + c^2 (\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)^2 - r_0^2 v^2}}{c^2 - v^2}$$ (1.4.1.5)
annimmt und die Bedingung $v < c$ eingehalten wird. Für $v \ll c$ kann Gleichung (1.4.1.5) im Übrigen durch die etwas einfachere Näherung
$$\tau_c \approx \frac{(c\,r_0 - \vec{r}_0\,\vec{v})(c\,t - r_0)}{c^2\,r_0}$$ (1.4.1.6)
ersetzt werden.

Die Gleichung (1.4.1.5) kann nun genutzt werden, um die Gleichung (1.4.1.4) in
$$p_e^{(-)}(t) = \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \int\limits_{-\infty}^{\tau_c} \frac{1}{(t-\tau)^2\,\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t-l\,\omega\,\vec{e}_z\,\intfunc_{0}^{\infty}(\tau)\, \cos(\omega \tau)(t-\tau)\Vert}\,\d{\tau}$$ (1.4.1.7)
umzuformen. Im nächsten Schritt wird die zu Anfang geforderte Bedingung verwendet, dass die Auslenkung $l$ sehr klein ist. Zu diesem Zweck wird eine Taylorreihenentwicklung nach $l$ durchgeführt und diese nach dem ersten Glied abgebrochen. Man erhält
$$p_e^{(-)}(t) = \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi\,\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert} \int\limits_{-\infty}^{\tau_c} \frac{1}{(t-\tau)^2} \left( 1 + \frac{l\,\omega \vec{e}_z(\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)\intfunc_{0}^{\infty}(\tau)\cos(\omega \tau)(t-\tau)}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert^2}\right)\d{\tau}.$$ (1.4.1.8)
Weiteres Umformen ergibt
$$\begin{eqnarray} p_e^{(-)}(t) & = & \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \frac{1}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert} \int\limits_{-\infty}^{\tau_c} \frac{1}{(t-\tau)^2} \d{\tau} + \\ & & \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \frac{l\,\omega\,\vec{e}_z\,(\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert^3} \intfunc_{0}^{\infty}(\tau_c)\, \int\limits_{0}^{\tau_c} \frac{\cos(\omega \tau)}{t-\tau} \d{\tau}. \end{eqnarray} $$ (1.4.1.9)
Diese Integrale lassen sich lösen. Es folgt
$$p_e^{(-)}(t) = \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \frac{1}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert} \frac{1}{(t-\tau_c)} + \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \frac{l\,\omega\,\vec{e}_z\,(\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert^3} \intfunc_{0}^{\infty}(\tau_c)\,\varrho(t,\tau_c)$$ (1.4.1.10)
mit
$$\begin{eqnarray}\varrho(t,\tau_c) & = & \cos(\omega\,t) \big(\mathrm{Ci}(\omega\,t) - \mathrm{Ci}(\omega\,(t - \tau_c))\big) + \sin(\omega\,t)\big(\mathrm{Si}(\omega\,t) - \mathrm{Si}(\omega\,(t - \tau_c))\big) \\ & \approx & \frac{\sin(\omega\,\tau_c)}{\omega\,(t-\tau_c)},\end{eqnarray}$$ (1.4.1.11)
wobei $\mathrm{Si}$ für den Integralsinus und $\mathrm{Ci}$ für den Integralcosinus steht. Die Näherung wurde dabei mit Hilfe der Abschätzungen (2.3.2.2) und (2.3.2.3) berechnet. Sie ist nur für $\omega\,(t-\tau_c) > 2\,\pi$ und $\omega\,\tau_c > 2\,\pi$ sinnvoll.

Die effektive Quantinodichte der positiven Ladung erhält man, indem man in der oberen Lösung $l=0$ und damit die Geschwindigkeit der Ladung zu Null setzt. Man bekommt
$$p_e^{(+)}(t) = \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \frac{1}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert} \frac{1}{t-\tau_c}.$$ (1.4.1.12)
Zum Abschluss werden beide Dichten mit $p_e(t) = p_e^{(+)}(t) - p_e^{(-)}(t)$ zur effektiven Gesamt-Quantinodichte
$$ p_e(t) = -\frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \frac{l\,\omega\,\vec{e}_z\,(\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert^3} \intfunc_{0}^{\infty}(\tau_c)\,\varrho(t,\tau_c)$$ (1.4.1.13)
zusammengesetzt. Im Übrigen ist, wie man leicht nachprüfen kann, die Einheit dieses Ausdrucks $1/m^3$.