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4.2.2 Die De-Broglie-Beziehung

In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass elastische Dipole in einem zeitlich konstanten, homogenen elektrischen Feld $\vec{E}(\vec{r})=-\vec{E}_0$ zum Schwingen angeregt werden. Weiterhin wird dargelegt, weshalb dieser Mechanismus in einer Elektronenröhre zu einem Teilchenstrahl mit Welleneigenschaften führt. Es wird deutlich werden, dass es sich bei Elektronen um nicht neutrale Dipole handelt, die Quantinowellen abstrahlen, deren Wellenlänge der De-Broglie-Beziehung zu entsprechen scheint. Außerdem wird in diesem Abschnitt auf das Kraftgesetz eingegangen, welches innerhalb der Quantendipole wirkt.

Ausgangspunkt der Überlegungen sind die Gleichungen (4.2.1.13) und (4.2.1.14). Im Falle eines orts- und zeitunabhängigen Feldes vereinfachen sie sich aufgrund des Verschwindens der Jacobi-Matrix zu
$$-q_r\,\vec{E}_0 = m\,\ddot{\vec{r}}(t),$$ (4.2.2.1)
und
$$-Q\,\vec{E}_0 - \vec{F}_o(\vec{l}(t)) = m\,\ddot{\vec{l}}(t).$$ (4.2.2.2)
Man stellt fest, dass sich die beiden Differentialgleichungen entkoppeln und dass die erste der gewöhnlichen Newtonschen Bewegungsgleichung entspricht. Sie ist damit nicht weiter von Interesse. Neu ist hingegen die zweite der beiden Gleichungen, welche die Schwingung des Dipols beschreibt.

Da die innere Struktur von Quantenpartikeln unbekannt ist, kann man zunächst nichts genaues über die Art der Kraft $\vec{F}_o$ sagen, welche die Ladungen in ihnen zusammenhält. Die einfachste Annahme ist die einer harmonischen Kraft der Form
$$\vec{F}_o(\vec{l}) = k\,\vec{l},$$ (4.2.2.3)
mit der Koppelkonstanten $k$. Die Differentialgleichung (4.2.2.2) lässt sich für diesen Fall sehr leicht lösen und man erhält
$$\vec{l}(t) = -\vec{E}_0\,\frac{Q}{k} \left(1 - \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\,t\right)\right),$$ (4.2.2.4)
sofern man von trivialen Anfangsbedingungen ausgeht. Die Lösung (4.2.2.4) hat weitreichende Konsequenzen, denn sie zeigt, dass ein Elektron zu schwingen beginnt, wenn es in ein zeitlich und räumlich konstantes elektrisches Feld gebracht wird. Damit ist die Behauptung des Abschnittes 4.1.2 qualitativ untermauert.

Abbildung 4.2.2.1: Die Abbildung zeigt die Schwingung eines Dipols im homogenen, statischen Feld. Elektronen sind Dipole, sie werden in einem homogenen elektrischen Feld daher nicht nur beschleunigt, sondern auch zum Schwingen angeregt.
Die Schwingungsfrequenz in der Lösung (4.2.2.4) ist allerdings konstant. Aus Experimenten mit einer Elektronenbeugungsröhre ist jedoch bekannt, dass sich die Radien der Beugungsringe ändern, wenn man die Beschleunigungsspannung $U$ variiert. Eine quantitative Analyse lässt darauf schließen, dass die Wellenlänge $\lambda$ eine Funktion der Beschleunigungsspannung ist und dass ein Zusammenhang der Form $\lambda \sim 1/\sqrt{U}$ existiert. Die Beschleunigungsspannung $U$ ist wiederum proportional zur elektrischen Feldstärke $E_0$, denn es gilt $U = d\,E_0$. $d$ ist hierbei der Abstand zwischen Wehneltzylinder und Anodenblende, also die räumliche Ausdehnung des Feldes in Abbildung 4.1.2.1. Da dieser Abstand bei Elektronenbeugungsröhrenexperiementen unveränderlich ist, kann statt der Spannung $U$ auch die Feldstärke $E_0$ verwendet werden. Letztlich findet man hier also eine Beziehung der Form
$$\lambda \sim \frac{1}{\sqrt{E_0}}.$$ (4.2.2.5)

Für jede Welle gilt nun ganz grundsätzlich die Beziehung
$$\lambda = \frac{v_c}{f}$$ (4.2.2.6)
zwischen der Frequenz $f$ und der Wellenlänge $\lambda$, wobei $v_c$ ganz allgemein für die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle steht. Oberflächlich betrachtet könnte man annehmen, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit $v_c$ einer Materiewelle gleich der Geschwindigkeit $v$ des zugehörigen Materiepartikels ist. Tatsächlich ist die daraus resultierende Größe - die von nun an als Bahnwellenlänge $\lambda_v$ bezeichnet werden soll - für die Erklärung der diskreten Energieniveaus bei Atomen von großer Bedeutung. Für Interferenzeffekte, wie z.B. beim Doppelspaltexperiment des Abschnittes 4.1.2, spielt hingegen eine andere Wellenlänge, nämlich die De-Broglie-Wellenlänge $\lambda$, die entscheidende Rolle. Bei ihr handelt es sich um den Abstand zweier Dichtemaxima der abgestrahlten Quantinowelle. Und da sich diese unabhängig von der Bahngeschwindigkeit $v$ des abstrahlenden Materiepartikels immer mit Lichtgeschwindigkeit $c$ ausbreitet, gilt hier
$$\lambda = \frac{c}{f}.$$ (4.2.2.7)
Abbildung 4.2.2.2 verdeutlicht den Zusammenhang zwischen Frequenz $f$, De-Broglie-Wellenlänge $\lambda$ und Bahnwellenlänge $\lambda_v$.

Abbildung 4.2.2.2: Die Abbildung verdeutlicht, worum es sich bei einer sogenannten Materiewelle handelt: Der schwingende Dipol strahlt eine Quantinowelle ab, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet und von Photonen (hier nicht dargestellt) reflektiert wird. Eine Materiewelle hat eine Frequenz, aber zwei Wellenlängen. Die Wellenlänge der schnellen Quantinowelle entspricht der De-Broglie-Wellenlänge. Der Weg, den das langsame, schwingende Teilchen in einer Periode zurücklegt, ist die Bahnwellenlänge. Nur für sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegende Photonen ist die Bahnwellenlänge und die De-Broglie-Wellenlänge gleich.
Unter Verwendung der Beziehung (4.2.2.5) folgt aus Gleichung (4.2.2.7)
$$f \sim \sqrt{E_0}.$$ (4.2.2.8)
Das bedeutet, dass ein Kraftgesetz $\vec{F}_o$ gefunden werden muss, bei dem der Dipol proportional zur Wurzel der äußeren elektrischen Feldstärke schwingt. Ein Kraftgesetz, welches diese Eigenschaft erfüllt, ist
$$\vec{F}_o(\vec{l}) = \vec{l}\, \left\{\begin{array}{ll} \infty, & l \geq l_m \\ 0, & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$ (4.2.2.9)
Diese hier vorliegende Art von Oszillator ist keineswegs exotisch, sondern besitzt im Gegenteil einige Äquivalente im Alltag. Eines davon ist die Rassel, ein Musikinstrument, bei dem sich innerhalb eines Gefäßes kleine Körner oder Steinchen befinden. Schüttelt man eine solche Rassel, so können sich die eingeschlossenen Körper solange frei bewegen, bis sie an die Wandung des Gefäßkörpers anstoßen und zurückreflektiert werden. Eine besondere Eigenschaft dieses "Rassel-Oszillators" ist das Fehlen einer Eigenfrequenz. Stattdessen ist die Frequenz tatsächlich immer proportional zur Wurzel der äußeren Feldstärke, wie man relativ leicht nachrechnen kann.

Ebenfalls proportional zur Wurzel der Feldstärke ist der Impuls der Elektronen nach der Beschleunigung in einer Elektronenbeugungsröhre. Aus Gleichung (4.2.2.1) folgt für die Bahnkurve eines beschleunigten Elektrons ($q_r = -e$) im Einflussbereich des Feldes der Zusammenhang
$$\vec{r}(t) = \vec{E}_0\,\frac{e}{2\,m}\,t^2.$$ (4.2.2.10)
Wenn das Elektron die Anodenblende durchquert, ist die Beschleunigungsphase beendet. Die Zeit $t_a$, welche ein Elektron von der Glühkathode bis zur Anodenblende benötigt, hängt ebenfalls von der elektrischen Feldstärke $E_0$ ab. Man erhält sie, indem man die linke Seite der Gleichung (4.2.2.10) gleich dem Abstand $d$ zwischen Wehneltzylinder und Anodenblende setzt und nach $t$ auflöst. Es folgt
$$t_a = \sqrt{\frac{2\,m\,d}{E_0\,e}}.$$ (4.2.2.11)
Der Impuls $\vec{p}$, den das Elektron nach der Beschleunigung besitzt, lautet demzufolge
$$\vec{p} = m\,\dot{\vec{r}}(t_a) = m\,\vec{E}_0\,\frac{e}{m}\,t_a = \vec{E}_0\,e\,\sqrt{\frac{2\,m\,d}{E_0\,e}} = \frac{\vec{E}_0}{E_0}\,\sqrt{2\,d\,E_0\,e\,m}$$ (4.2.2.12)
und ist, wie behauptet wurde, proportional zur Wurzel der Beschleunigerfeldstärke $E_0$. Setzt man die Beziehung $p \sim \sqrt{E_0}$ in den Ausdruck (4.2.2.5) ein, so erhält man
$$\lambda \sim \frac{1}{p},$$ (4.2.2.13)
was der De-Broglie-Beziehung $\lambda = \frac{h}{p}$ entspricht.