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4.2 Der Welle-Teilchen-Dualismus

Nach dem einführenden, aber für das Grundverständnis wichtigen Abschnitt 4 ist es nun wieder an der Zeit für eine etwas mathematischere Analyse. Dabei wird sich herausstellen, dass es in der Tat einen vielversprechenden Ansatz darstellt, Elementarteilchen und Photonen als Dipole zu interpretieren. Die Dualität von Teilchen- und Wellenaspekt ergibt sich dadurch mühelos aus der Tatsache, dass Dipole schwingungsfähig sind und als solche Quantinowellen abstrahlen, welche sowohl die elektromagnetische Kraft, als auch die Schwerkraft vermitteln. Die Fragen die sich in diesem Zusammenhang stellen sind, wodurch solche Dipole zum Schwingen angeregt werden, wie sie untereinander interagieren und wie sich die experimentellen Befunde der Quantenmechanik aus dem Blickwinkel der Quantinotheorie interpretieren lassen.

4.2.1 Der elastische Dipol

Dieser Abschnitt hat die Aufgabe zu zeigen, dass Photonen und Elektronen, die sich innerhalb eines statischen elektrischen Feldes befinden, schwingen. Um die Untersuchung möglichst allgemein zu halten, wird ganz allgemein von elastischen Dipolen gesprochen, die dadurch gekennzeichnet sind, dass sich bei ihnen die Entfernung der Teilladungen voneinander verändern kann. Das Verhalten von starren Dipolen ist hingegen seit langem bekannt und hier nicht von Interesse.

Die zu untersuchende Fragestellung lautet: Wie verhält sich ein elektrisch neutraler oder beinahe neutraler, elastischer Dipol in einem statischen elektrischen Feld $\vec{E}(\vec{r})$? Der Dipol wird durch zwei elektrische Ladungen $q_p = q + q_r$ und $q_n = -q$ mit den Bahnkurven $\vec{r}_p(t)$ und $\vec{r}_n(t)$ modelliert. Die Kraft $\vec{F}_o$ zwischen den beiden Ladungen soll nur von ihrem Abstand abhängen, aber nicht notwendigerweise harmonisch sein. Die newtonsche Mechanik liefert die beiden Differentialgleichungen
$$\frac{1}{2}\,\vec{F}_o(\vec{r}_n(t) - \vec{r}_p(t)) + (q + q_r)\,\vec{E}(\vec{r}_p(t)) = \frac{m}{2}\,\ddot{\vec{r}_p}(t)$$ (4.2.1.1)
und
$$\frac{1}{2}\,\vec{F}_o(\vec{r}_p(t) - \vec{r}_n(t)) - q\,\vec{E}(\vec{r}_n(t)) = \frac{m}{2}\,\ddot{\vec{r}_n}(t).$$ (4.2.1.2)
Hierbei ist $m$ die träge Masse des gesamten Dipols. Da für die nicht abgeschirmte Restladung $q_r$ die Beziehung $\vert q_r\vert \ll q$ gelten soll, wird näherungsweise angenommen, dass die Masse beider Teilladungen gleich groß ist, also $m/2$ beträgt.

Definiert man den Schwerpunkt des Dipols $\vec{r}$ durch
$$\vec{r}(t) := \frac{1}{2}\left(\vec{r}_p(t) + \vec{r}_n(t)\right)$$ (4.2.1.3)
und die Auslenkung $\vec{l}$ durch
$$\vec{l}(t) := \frac{1}{2}\left(\vec{r}_p(t) - \vec{r}_n(t)\right)$$ (4.2.1.4)
so folgen die Beziehungen
$$\vec{r}_p(t) = \vec{r}(t)+\vec{l}(t)$$ (4.2.1.5)
und
$$\vec{r}_n(t) = \vec{r}(t)-\vec{l}(t).$$ (4.2.1.6)
Damit gilt dann
$$-\vec{F}_o(\vec{l}(t)) + 2\,(q + q_r)\,\vec{E}(\vec{r}(t)+\vec{l}(t)) = m\,\ddot{\vec{r}}(t)+m\,\ddot{\vec{l}}(t)$$ (4.2.1.7)
und
$$\vec{F}_o(\vec{l}(t)) - 2\,q\,\vec{E}(\vec{r}(t)-\vec{l}(t)) = m\,\ddot{\vec{r}}(t)-m\,\ddot{\vec{l}}(t).$$ (4.2.1.8)


Eine Reihenentwicklung von $\vec{E}(\vec{r}(t) + \varepsilon\,\vec{l}(t))$ nach $\varepsilon$ an der Stelle $0$ und Abbruch nach dem ersten Glied führt zu der Näherung
$$\vec{E}(\vec{r}(t) + \varepsilon\,\vec{l}(t)) \approx \vec{E}(\vec{r}(t)) + \varepsilon\,\mathbf{J_E}(\vec{r}(t))\,\vec{l}(t),$$ (4.2.1.9)
wobei es sich bei $\mathbf{J_E}(\vec{r}) = \mathrm{grad}\,\vec{E}(\vec{r})$ um die Jacobi-Matrix von $\vec{E}(\vec{r})$ handelt. Für betragsmäßig kleine $\vec{l}(t)$ gilt somit näherungsweise
$$\vec{E}(\vec{r}(t) \pm \vec{l}(t)) = \vec{E}(\vec{r}(t)) \pm \mathbf{J_E}(\vec{r}(t))\,\vec{l}(t).$$ (4.2.1.10)
Die bei dieser Näherung vorausgesetzte Annahme besteht darin, dass der Betrag der Auslenkung klein gegenüber der Änderung des elektrischen Feldes an der Stelle des Schwerpunktes ist.

Für die Gleichungen (4.2.1.7) und (4.2.1.8) folgt mit (4.2.1.10)
$$-\vec{F}_o(\vec{l}(t)) + 2\,(q + q_r)\,\left(\vec{E}(\vec{r}(t)) + \mathbf{J_E}(\vec{r}(t))\,\vec{l}(t)\right) = m\,\ddot{\vec{r}}(t)+m\,\ddot{\vec{l}}(t)$$ (4.2.1.11)
und
$$\vec{F}_o(\vec{l}(t)) - 2\,q\,\left(\vec{E}(\vec{r}(t)) - \mathbf{J_E}(\vec{r}(t))\,\vec{l}(t)\right) = m\,\ddot{\vec{r}}(t)-m\,\ddot{\vec{l}}(t).$$ (4.2.1.12)

Durch Addition der Gleichungen (4.2.1.11) und (4.2.1.12) gelangt man schließlich zu
$$q_r\,\vec{E}(\vec{r}(t)) + Q\,\mathbf{J_E}(\vec{r}(t))\,\vec{l}(t) = m\,\ddot{\vec{r}}(t),$$ (4.2.1.13)
mit der Dipolgesamtladungsmenge $Q = 2 q + q_r$. Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt
$$Q\,\vec{E}(\vec{r}(t)) + q_r\,\mathbf{J_E}(\vec{r}(t))\,\vec{l}(t) - \vec{F}_o(\vec{l}(t)) = m\,\ddot{\vec{l}}(t).$$ (4.2.1.14)