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4 Berechnungen und Defintionen

4.1 Spezielle Relativitätstheorie

4.1.1 Lorentztransformation

Mit der Lorentztransformation ([Lehner2004] Seite 635, Formel A.6.26)
$$\vec{r}\acute{~} = \vec{r} + \left(\gamma(v) - 1\right)\,\vec{r}\cdot\vec{v}\,\frac{\vec{v}}{v^2} - \gamma(v)\,\vec{v}\,t$$ (4.1.1.1)
$$t\acute{~} = \gamma(v)\,\left(t - \frac{1}{c^2}\,\vec{r}\cdot\vec{v}\right)$$ (4.1.1.2)
lässt sich berechnen, wie ein sich mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ gleichförmig bewegender Beobachter die Koordinaten eines punktförmigen Objektes aus seiner Perspektive wahrnimmt. Die Lorentztransformation besagt, dass sich für ihn das Objekt zum Zeitpunkt $t\acute{~}$ am Ort $\vec{r}\acute{~}$ befindet.

4.1.2 Lorentzkontraktion

Möchte man die Koordinaten von zwei punktförmigen Objekten $\vec{r}_1$ und $\vec{r}_2$ mit der Lorentztransformation in ein anderes Bezugssystem übertragen, so ist es wichtig zu berücksichtigen, dass die Gleichung (4.1.1.1) Ortskoordinaten im bewegten Bezugsystem liefert, die vom Zeitpunkt her nicht zueinander passen. Möchte man die Ortskoordinaten zum gleichen Zeitpunkt, so kann man ohne Einschränkung der Allgemeinheit den Zeitpunkt $t\acute{~}$ in Gleichung (4.1.1.2) null setzen und nach $t$ auflösen. Daraus folgt
$$t = \frac{1}{c^2}\,\vec{r}\cdot\vec{v}$$ (4.1.2.1)
was dann eingesetzt in Gleichung (4.1.1.1) zu
$$\vec{r}\acute{~} = \vec{r} + \left(\left(\gamma(v) - 1\right)\,\frac{\vec{v}}{v^2} - \gamma(v)\,\frac{\vec{v}}{c^2}\right)\vec{r}\cdot\vec{v}$$ (4.1.2.2)
führt.

Wie man durch Einsetzen überprüfen kann folgt daraus
$$\Vert\vec{r}\acute{~_1}-\vec{r}\acute{~_2}\Vert = \sqrt{\Vert\vec{r}_1-\vec{r}_2\Vert^2 - \left(\frac{\vec{v}\cdot\left(\vec{r}_1-\vec{r}_2\right)}{c}\right)^2}$$ (4.1.2.3)
Für den Spezialfall, dass $\vec{r}_1-\vec{r}_2$ parallel zur Geschwindigkeit $\vec{v}$ ausgerichtet ist, gilt $\vec{v}\cdot\left(\vec{r}_1-\vec{r}_2\right) = v\,\Vert\vec{r}_1-\vec{r}_2\Vert$ und man erhält
$$\Vert\vec{r}\acute{~_1}-\vec{r}\acute{~_2}\Vert = \frac{1}{\gamma(v)}\,\Vert\vec{r}_1-\vec{r}_2\Vert.$$ (4.1.2.4)
Dies bezeichnet man als Lorentzkontraktion, da für $v \to c$ der Vorfaktor gegen Null geht. Falls aber der Vektor $\vec{r}_1-\vec{r}_2$ senkrecht zur Geschwindigkeit $\vec{v}$ ausgerichtet ist, gibt es keine Lorentzkontraktion und es folgt einfach
$$\Vert\vec{r}\acute{~_1}-\vec{r}\acute{~_2}\Vert = \Vert\vec{r}_1-\vec{r}_2\Vert.$$ (4.1.2.5)


4.1.3 Additionstheorem

Falls sich ein punktförmiges Objekt mit der Geschwindigkeit $\vec{u}$ gleichförmig bewegt, so hat dieses Objekt in einem mit $\vec{v}$ gleichförmig bewegten Bezugssystem die Geschwindigkeit
$$\vec{u}\acute{~} = \frac{c^2}{c^2 - \vec{u}\,\vec{v}} \left(\frac{1}{\gamma(v)}\,\vec{u} + \left(1 - \frac{1}{\gamma(v)}\right)\frac{\vec{u}\,\vec{v}}{v^2}\,\vec{v} - \vec{v}\right).$$ (4.1.3.1)
Dieses Ergebnis erhält man durch Berechnung von
$$\vec{u}\acute{~} := \frac{\d{\vec{r}\acute{~}}}{\d{t}} \left(\frac{\d{t\acute{~}}}{\d{t}}\right)^{-1} = \frac{\d{\vec{r}\acute{~}}}{\d{t\acute{~}}}$$ (4.1.3.2)
und durch Einsetzen der Lorentztransformation (4.1.1.1) und (4.1.1.2). Die Gleichung (4.1.3.1) bezeichnet man als inverses relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten.