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2.9 Die Entstehung der Trägheit

Die Tatsache, dass sich die schwere Masse als Effekt der elektrischen Kraft erklären lässt, führt automatisch zu der Frage, wodurch die träge Masse entsteht und weshalb diese - zumindest bei normaler, ungeladener und langsamer Materie - zur schweren Masse äquivalent ist. Es wurde bereits erwähnt, dass eine Ladung, sofern sie beschleunigt wird, mit ihren selbst emittierten Quantinos in Wechselwirkung treten muss.

Abbildung 2.9.1: Wenn eine Quelle beschleunigt wird, holt sie ihre eigenen Quantinos wieder ein. Es entsteht eine Selbstwechselwirkung, also eine Kraft, die der Beschleunigung entgegengerichtet ist.
Die Abbildung 2.9.1 zeigt dieses anhand einer animierten Skizze. Wie zu erkennen ist, ändert sich durch eine Beschleunigung die relative Geschwindigkeit der Quelle zu den Quantinos, die sie selbst zuvor ausgesendet hat. Dieses führt dazu, dass der Ladung ein kleiner Teil des eigenen Quantinofeldes entgegen kommt. Dabei muss nach den Regeln der Quantinotheorie eine Kraftwirkung auftreten, welche überdies der Beschleunigungsrichtung immer genau entgegen gerichtet ist, da die eigenen Quantinos einerseits immer das gleiche Vorzeichen haben, wie die Quellladung selbst und anderseits genau aus der Richtung zu kommen scheinen, in die beschleunigt wird.

Es lässt sich also festhalten, dass in der Quantinotheorie eine jede beschleunigte elektrische Ladung eine Kraft wahrnehmen muss, die der Beschleunigung genau entgegen gerichtet ist. Das lässt sich auch mathematisch untermauern.

2.9.1 Der Quantinoeigendruck

Wir betrachten eine Einheitsladung, welche linear in x-Richtung beschleunigt wird. Für die Bahnkurve linear beschleunigter Objekte $\vec{r}$ gilt ganz allgemein
$$\vec{r}(t) = \vec{e}_x\,\left(x_0 + v_0\,t + \frac{1}{2}\,a\,t^2\right).$$ (2.9.1.1)
Dabei ist $x_0$ der Ort an dem sich das Objekt zum Zeitpunkt $t = 0$ befindet und $v_0$ die Geschwindigkeit in diesem Augenblick. $a$ steht für die konstante Beschleunigung.

Gesucht ist der Quantinodruck (2.8.3.15) der beschleunigten Einheitsladung zu einem beliebigen Zeitpunkt $t \geq 0$ auf sich selbst. Um diesen berechnen zu können, werden die Geschwindigkeiten (2.8.3.11) und (2.8.3.12) benötigt. Da in diesem speziellen Fall Quelle und Empfänger der Quantinos gleich sind, gilt $\vec{r}_s(t) = \vec{r}_d(t) = \vec{r}(t)$. Das heißt
$$\vec{w}(\tau) = \frac{\vec{r}(t)-\vec{r}(\tau)}{t-\tau} - \dot{\vec{r}}(\tau)$$ (2.9.1.2)
und
$$\vec{u}(\tau) = \frac{\vec{r}(t)-\vec{r}(\tau)}{t-\tau} - \dot{\vec{r}}(t).$$ (2.9.1.3)
Durch Einsetzen der Bahnkurve (2.9.1.1) folgt
$$\vec{w}(\tau) = \frac{1}{2}\,a\,(t - \tau)\,\vec{e}_x$$ (2.9.1.4)
und
$$\vec{u}(\tau) = -\frac{1}{2}\,a\,(t - \tau)\,\vec{e}_x = - \vec{w}(\tau).$$ (2.9.1.5)
Dies kann nun in die Formel des Quantinodrucks (2.8.3.15) eingesetzt werden. Wegen $\vec{u}(\tau) = -\vec{w}(\tau)$ gilt zunächst
$$\vec{\mathcal{P}}_{e,i} = -\vec{e}_x\,\frac{a_c\,m_{pho}}{8\,\pi} \,\int\limits_{-\infty}^{t} \frac{\Gamma\left(w(\tau)\right)\,\intfunc_{0}^{c}\left(w(\tau)\right)}{(t-\tau)^3}\,\d{\tau}.$$ (2.9.1.6)
Die Gleichung (2.9.1.1) beschreibt eine Parabel. Für $t = -v_0/a$ ist die Geschwindigkeit der Einheitsladung Null. Zu diesem Zeitpunkt kehrt sich ihre Bewegungsrichtung um. Für hinreichend kleine $a$ liegt dieser Zeitpunkt aber weit genug in der Vergangenheit um ignoriert zu werden. Das Integral (2.9.1.6) wird damit zu
$$\vec{\mathcal{P}}_{e,i} = -\vec{e}_x\,\frac{a_c\,m_{pho}}{8\,\pi} \,\int\limits_{-\infty}^{t} \frac{\Gamma\left(w(\tau)\right)}{(t-\tau)^3}\,\d{\tau}.$$ (2.9.1.7)
Im nächsten Schritt verwenden wir die Gleichungen (2.8.1.11) und (2.9.1.4) und erhalten
$$\vec{\mathcal{P}}_{e,i} = -\vec{e}_x\,\frac{a_c\,m_{pho}}{16\,\pi} \,\Gamma_1\,a\,\int\limits_{-\infty}^{t} \frac{1}{(t-\tau)^2}\,\d{\tau}.$$ (2.9.1.8)
Dieses Integral divergiert. Dies ist eine Folge der aufgrund der mathematischen Modellierung entstandenen Singularität der Quantinodichte am Ort der Einheitsladung. Um trotzdem weiterrechnen zu können formen wir Gleichung (2.9.1.8) um und schreiben
$$\vec{\mathcal{P}}_{e,i} = -\vec{e}_x\,\frac{a_c\,m_{pho}}{16\,\pi} \,\Gamma_1\,a\,\lim\limits_{\Delta t\to 0}\,\int\limits_{-\infty}^{t-\Delta t} \frac{1}{(t-\tau)^2}\,\d{\tau}.$$ (2.9.1.9)
Die Lösung des Integrals lautet
$$\vec{\mathcal{P}}_{e,i} = -\vec{e}_x\,\frac{a_c\,m_{pho}}{16\,\pi} \,\Gamma_1\,a\,\lim\limits_{\Delta t\to 0}\,\frac{1}{\Delta t},$$ (2.9.1.10)
wobei der Limes-Term gegen unendlich strebt. In der physikalischen Realität dürfte der Term aber stattdessen einer endlichen Konstante entsprechen, da $\Delta t$ wegen des endlichen Durchmessers der Einheitsladung nicht exakt Null sein kann. Das bedeutet, dass eine beschleunigte Einheitsladung eine Art "Quantinogegenwind"
$$\vec{\mathcal{P}}_{e,i} = -\kappa_i\,\vec{a}$$ (2.9.1.11)
wahrnimmt, welcher direkt proportional zur Beschleunigung ist. Die Proportionalitätskonstante $\kappa_i$ ist allerdings unbekannt und hängt von den Details der Nahfeldwechselwirkungsphysik einer Einheitsladung mit dem eigenen Quantinofeld ab.

2.9.2 Die Grundgleichung der Mechanik

Bis hierher wurde gezeigt, dass eine beschleunigte Ladungen einen bremsenden "Quantinogegenwind" wahrnimmt. Der Umstand, dass eine Ladung überhaupt beschleunigt ist, impliziert aber, dass ein äußerer Quantinodruck $\vec{\mathcal{P}}_{e,o}$ vorhanden ist. Ohne diesen äußeren Quantinodruck gäbe es nämlich keine Beschleunigung und damit wiederum keinen Quantinogegendruck. Beschleunigung, äußerer Quantinodruck und Quantinogegendruck befinden sich bei einer gleichförmigen Beschleunigung also in einer Art Gleichgewichtszustand.

Wir wollen nun annehmen, dass ohne den zuvor erläuterten Quantinogegendruck-Effekt jeder noch so kleine Quantinodruck zu einer sehr großen Beschleunigung führen würde. Alle Objekte würden sich damit so verhalten, als ob sie trägheitslos wären. Dieser Zusammenhang lässt sich mathematisch durch
$$\vec{a} = \frac{1}{\kappa_e}\,\vec{\mathcal{P}}_{e}\quad\text{mit}\quad \kappa_e\to 0$$ (2.9.2.1)
ausdrücken.

Der Gesamtquantinodruck $\vec{\mathcal{P}}_{e}$ ist die Summe aus dem äußerem Quantinodruck $\vec{\mathcal{P}}_{e,o}$, der die Ladung beschleunigt, und dem Quantinogegendruck $\vec{\mathcal{P}}_{e,i}$, d.h.
$$\vec{a} = \frac{1}{\kappa_e}\,\left(\vec{\mathcal{P}}_{e,o} + \vec{\mathcal{P}}_{e,i}\right) = \frac{1}{\kappa_e}\,\left(\vec{\mathcal{P}}_{e,o} - \kappa_i\,\vec{a}\right).$$ (2.9.2.2)
Durch Umformen gelangen wir zu
$$\vec{a} = \frac{1}{\kappa_e + \kappa_i}\,\vec{\mathcal{P}}_{e,o}.$$ (2.9.2.3)
Und da $\kappa_e$ gegen Null geht, folgt
$$\vec{a} = \frac{1}{\kappa_i}\,\vec{\mathcal{P}}_{e,o}.$$ (2.9.2.4)
Da aber der Quantinodruck mit Hilfe der Formel (2.8.5.3) immer in eine Kraft umgerechnet werden kann, lässt sich dass auch zu
$$\vec{F}_{o} = m\,\vec{a} \quad \text{mit}\quad m := \frac{\kappa_i\,\sigma_e\,q^2}{e^2}$$ (2.9.2.5)
umformen. Damit ist gezeigt, dass eine endliche äußere Kraft auch eine endliche Beschleunigung verursacht und dass der Quantinogegendruck-Effekt zu einer Art Trägheit führt, welche die Reaktion auf ein Ungleichgewicht im äußeren Quantinofeld begrenzt.

Des Weiteren wird deutlich, dass ein gleichförmig beschleunigtes Objekt lokal kein Ungleichgewicht im Quantinofeld feststellen kann. Setzt man nämlich Gleichung (2.9.2.4) in die Gleichung (2.9.1.11) ein, so erhält man
$$\vec{\mathcal{P}}_{e,i} = -\vec{\mathcal{P}}_{e,o}\quad \text{oder}\quad \vec{\mathcal{P}}_{e,i} + \vec{\mathcal{P}}_{e,o} = 0.$$ (2.9.2.6)
Das bedeutet, dass ein gleichförmig beschleunigter Körper in einem homogenen Kraftfeld immer den Eindruck hat, als ob auf ihn keinerlei Kräfte einwirken. Diese Aussage entspricht dem Äquivalenzprinzip der Allgemeinen Relativitätstheorie.

2.9.3 Gegenseitige Trägheitskompensation bei extrem dicht benachbarten Ladungen

In Abschnitt 2.9 wurde gezeigt, dass eine einzelne Einheitsladung auf sich selbst eine Kraft ausübt, wenn sie durch eine äußere Kraft beschleunigt wird. Es liegt nahe sich zu fragen, was geschieht, wenn sich zwei Ladungen exakt am gleichen Ort aufhalten.

Zunächst zeigt Formel (2.9.2.5), dass die träge Masse $m$ proportional zum Quadrat(!) der Gesamtladung $q$ an einem bestimmten Raumpunkt ist. Weiterhin zeigt die Gleichung, dass zwei gleich große Ladungsmengen mit unterschiedlichem Vorzeichen, die sich exakt am gleichen Ort aufhalten, zusammen keine träge Masse haben. Die Ladungen kompensieren sich also in einem solchen Fall vollständig, also nicht nur nach außen hin und untereinander, sondern auch nach innen. Das bedeutet, dass an dieser Stelle die Grenzen der klassischen Physik überschritten werden. Erst wenn sich die Ladungen etwas voneinander entfernen, treten wieder Kräfte untereinander und auf sich selbst auf.