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2.8.4 Der Quantinodruck gleichförmig bewegter Ladungen

Bei gleichförmig bewegten Punktladungen gilt die Besonderheit, dass sich die Zentren der Emissionsphären $\vec{r}_c(t,\tau)$ immer genau dort befinden, wo sich gerade auch die Quellen aufhalten, d.h. mit $\vec{v}_s := \dot{\vec{r}}_s(\tau)$ als konstante Geschwindigkeit der Quelle ist
$$\vec{r}_c(t,\tau) = \vec{r}_s(t) = \vec{r}_s(\tau) + \vec{v}_s\,(t-\tau).$$ (2.8.4.1)
Setzt man dieses in die Gleichungen (2.8.3.11) und (2.8.3.12) ein, so erhält man
$$\vec{w}(\tau) = \frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(t)}{t-\tau}$$ (2.8.4.2)
und
$$\vec{u}(\tau) = \frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(t)}{t-\tau} - (\vec{v}_d - \vec{v}_s)$$ (2.8.4.3)
wobei $\vec{v}_d := \dot{\vec{r}}_d(t)$ für die konstante Geschwindigkeit der Empfängerladung steht.

Mit Hilfe der Gleichungen (2.8.4.2) und (2.8.4.3) kann der Quantinodruck (2.8.3.15) unter Verwendung der Substitution $\tau_s := t-\tau$ zu
$$\begin{split}\vec{\mathcal{P}}_e = & \frac{a_c\,m_{pho}}{8\,\pi} \,\int\limits_{0}^{\infty} \left\Vert\frac{\vec{r}}{\tau_s}-\vec{v}\right\Vert^2\,\frac{\vec{r}}{\tau_s}\,\sgn\left(\frac{r^2}{\tau_s}-\vec{r}\,\vec{v}\right) \cdot \\ & \Gamma\left(\frac{r}{\tau_s}\right)\,\frac{\intfunc_{0}^{c}\left(\left\Vert \frac{\vec{r}}{\tau_s}-\vec{v}\right\Vert\right)}{r^3}\,\d{\tau_s}\end{split}$$ (2.8.4.4)
umgeformt werden. Aus Gründen der Bequemlichkeit wurden dabei die Abkürzungen $\vec{r} := \vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(t)$, $\vec{v} := \vec{v}_d-\vec{v}_s$ und $r := \Vert\vec{r}\Vert$ eingeführt. Der Intervallfunktion kann man sich entledigen, indem man sich überlegt, dass die untere Bedingung aufgrund der Betragsbildung des Argumentes sowieso immer gilt und die obere Bedingung dann erfüllt ist, wenn $\tau_s$ einen bestimmten Wert, nämlich
$$\tau_c = \frac{\sqrt{r^2 c^2 - \Vert\vec{r}\times\vec{v}\Vert^2} - \vec{r}\,\vec{v}}{c^2 - v^2}$$ (2.8.4.5)
überschreitet. Dabei ist zu beachten, dass der Ausdruck unter der Wurzel reell zu bleiben hat. Falls dieser Term jedoch imaginär wird, so besitzt die Bedingung in der Intervallfunktion überhaupt keine Lösung und liefert demzufolge im gesamten Integrationsgebiet Null. Dies ist beispielsweise immer dann der Fall, wenn $\vec{r}$ senkrecht auf $\vec{v}$ steht und $v$ die Lichtgeschwindigkeit erreicht. Damit ist klar, dass der Quantinodruck und damit auch die elektrische Kraft vollkommen verschwindet, wenn sich eine Ladung quer an einer anderen Ladung vorbeibewegt und die Differenzgeschwindigkeit größer oder gleich der Lichtgeschwindigkeit ist.

Mit Hilfe von $\tau_c$ ist es möglich Ausdruck (2.8.4.4) zu
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{a_c\,m_{pho}}{8\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\int\limits_{\tau_c}^{\infty} \left\Vert\frac{\vec{r}}{\tau_s}-\vec{v}\right\Vert^2\,\frac{\Gamma\left(\frac{r}{\tau_s}\right)}{\tau_s}\,\sgn\left(\frac{r^2}{\tau_s}-\vec{r}\,\vec{v}\right)\,\d{\tau_s}$$ (2.8.4.6)
vereinfachen. Um das Integral lösen zu können, wird die Emissionsgeschwindigkeitsverteilung $\Gamma(w)$ durch eine Taylorreihe ausgedrückt, d.h. es wird der Ansatz
$$\Gamma(w) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \Gamma_k\,w^k$$ (2.8.4.7)
gewählt. Damit folgt
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{a_c\,m_{pho}}{8\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \Gamma_k\,\mathcal{I}_k$$ (2.8.4.8)
mit
$$\mathcal{I}_k := \int\limits_{\tau_c}^{\infty} \left\Vert\frac{\vec{r}}{\tau_s}-\vec{v}\right\Vert^2\,\frac{r^{k}}{\tau_s^{k+1}}\,\sgn\left(\frac{r^2}{\tau_s}-\vec{r}\,\vec{v}\right)\,\d{\tau_s}.$$ (2.8.4.9)

Die Lösung der Integrale des Typs $\mathcal{I}_k$ ist nun ein rein mathematisches Problem. Wegen der Beziehung $\Vert\vec{x}\Vert^2 = \vec{x}\cdot\vec{x}$ gilt zunächst
$$\mathcal{I}_k = \int\limits_{\tau_c}^{\infty} \left(\frac{r^2}{\tau_s^2} - \frac{2\,\vec{r}\,\vec{v}}{\tau_s} + v^2\right)\,\frac{r^{k}}{\tau_s^{k+1}}\,\sgn\left(\frac{r^2}{\tau_s}-\vec{r}\,\vec{v}\right)\,\d{\tau_s}.$$ (2.8.4.10)
Durch Substitution von $r^2/\tau_s-\vec{r}\,\vec{v}$ mit $z$ folgt
$$\mathcal{I}_k = \frac{1}{r^{k+2}} \int\limits_{-\vec{r}\,\vec{v}}^{r^2/\tau_c-\vec{r}\,\vec{v}} (\vec{r}\,\vec{v} + z)^{k-1}\,\left(z^2 + r^2\,v^2 -(\vec{r}\,\vec{v})^2\right)\,\sgn\left(z\right)\,\d{z}.$$ (2.8.4.11)
Dieses Integral lässt sich mit Hilfe der Beziehung
$$\int\limits_{a}^{b}\,f(x)\,\sgn(x)\,\d{x} = \sgn(a)\int\limits_{a}^{0}f(x)\,\d{x} + \sgn(b)\int\limits_{0}^{b}f(x)\,\d{x}$$ (2.8.4.12)
lösen und man erhält nach etwas Umformen
$$\begin{split}\mathcal{I}_k = & \left(\sgn(\vec{r}\,\vec{v}) + \sgn\left(\frac{r^2}{\tau_c}-\vec{r}\,\vec{v}\right)\right) \left(\frac{\vec{r}\,\vec{v}}{r}\right)^k \cdot \\ & \left(\frac{(k+3)\,(\vec{r}\,\vec{v})^{2}}{(k+1)(k+2)\,r^{2}} - \frac{v^2}{k}\right) + \\ & \sgn\left(\frac{r^2}{\tau_c}-\vec{r}\,\vec{v}\right) \left(\frac{r}{\tau_c}\right)^k\left(\frac{r^2}{(k+2)\,\tau_c^2} - \frac{2\,\vec{r}\,\vec{v}}{(k+1)\,\tau_c} + \frac{v^2}{k}\right).\end{split}$$ (2.8.4.13)
Dies lässt sich noch weiter vereinfachen, indem man den Term $r^2/\tau_c-\vec{r}\,\vec{v}$ etwas genauer analysiert. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man die Ausrichtung des Koordinatensystems nämlich immer so wählen, dass $\vec{r} = (r,0,0)$ und $\vec{v}=(v_{\parallel},v_{\perp},0)$ gilt. Setzt man das in die Gleichung (2.8.4.5) ein, so erhält man
$$\tau_c = \frac{r^2}{r\,v_{\parallel} + c\,r\,\sqrt{1-\frac{v_{\perp}^2}{c^2}}}.$$ (2.8.4.14)
Und damit wiederum ergibt sich die Beziehung
$$\sgn\left(\frac{r^2}{\tau_c}-\vec{r}\,\vec{v}\right) = \sgn\left(c\,r\,\sqrt{1-\frac{v_{\perp}^2}{c^2}}\right) = 1.$$ (2.8.4.15)
Damit vereinfacht sich dann Formel (2.8.4.13) weiter zu
$$\begin{split}\mathcal{I}_k = & \left(1 + \sgn(\vec{r}\,\vec{v})\right) \left(\frac{\vec{r}\,\vec{v}}{r}\right)^k \left(\frac{(k+3)\,(\vec{r}\,\vec{v})^{2}}{(k+1)(k+2)\,r^{2}} - \frac{v^2}{k}\right) + \\ & \left(\frac{r}{\tau_c}\right)^k\left(\frac{r^2}{(k+2)\,\tau_c^2} - \frac{2\,\vec{r}\,\vec{v}}{(k+1)\,\tau_c} + \frac{v^2}{k}\right).\end{split}$$ (2.8.4.16)

2.8.4.1 Rein transversale Bewegung

Falls sich die beiden Punktladungen direkt seitlich aneinander vorbei bewegen, ist die Geschwindigkeit rein transversal und orthogonal zum Abstandsvektor ausgerichtet. In diesem Spezialfall gilt $v_{\parallel} = 0$. Damit ist $\vec{r}\,\vec{v} = 0$ und es folgt aus Gleichung (2.8.4.14)
$$\tau_{c,\perp} = \frac{r}{c\,\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$$ (2.8.4.1.1)
Setzt man das in Formel (2.8.4.16) ein, so erhält man
$$\begin{split}\mathcal{I}_k = & \left(\frac{r}{\tau_{c,\perp}}\right)^k\left(\frac{r^2}{(k+2)\,\tau_{c,\perp}^2} + \frac{v^2}{k}\right) \\ = & \left(c\,\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^k\left(\frac{c^2 -v^2}{k+2} + \frac{v^2}{k}\right).\end{split}$$ (2.8.4.1.2)
Wie sofort zu erkennen ist, geht $\mathcal{I}_k$ gegen Null, wenn $v \to c$ geht. Das heißt, dass der Quantinodruck und damit auch die elektrische Kraft verschwindet, wenn sich die Ladungen seitlich mit Lichtgeschwindigkeit oder mehr aneinander vorbei bewegen. Die beiden Punktladungen sind also für sehr große Geschwindigkeiten jeweils "unsichtbar" zueinander.

2.8.4.2 Rein longitudinale Bewegung

Wenn sich die beiden Punktladungen in direkter Linie aufeinander zubewegen, ist $v_{\perp} = 0$ und $\vec{r}\,\vec{v} = -r\,v$. Für Gleichung (2.8.4.14) folgt dann
$$\tau_{c,\parallel} = \frac{r}{c-v}.$$ (2.8.4.2.1)
Setzt man dieses in die Formel (2.8.4.16) ein, so ist
$$\mathcal{I}_k = \left(c-v\right)^k\left(\frac{(c-v)^2}{(k+2)} + \frac{2\,v\,(c-v)}{(k+1)} + \frac{v^2}{k}\right).$$ (2.8.4.2.2)
Auch hier gilt offensichtlich, dass die elektrische Kraft Null wird, wenn die Geschwindigkeit mit der sich die beiden Objekte nähern Lichtgeschwindigkeit erreicht. Falls $v$ die Lichtgeschwindigkeit übersteigt, ist die Kraft ebenfalls Null, da in Integral (2.8.4.4) die Intervallfunktion für $v > c$ Null ergibt.

Für den Fall, dass sich die beiden Punktladungen auf einer direkten Linie voneinander entfernen, ist $\vec{r}\,\vec{v} = r\,v$. Diesmal verschwindet der Term $1 + \sgn(\vec{r}\,\vec{v})$ in Ausdruck (2.8.4.16) nicht, sondern ergibt den Wert $2$. Insgesamt folgt
$$\begin{split}\mathcal{I}_k = & 2\, v^k \left(\frac{(k+3)\,v^2}{(k+1)(k+2)} - \frac{v^2}{k}\right) + \\ & \left(c+v\right)^k\left(\frac{(c+v)^2}{(k+2)} - \frac{2\,v\,(c+v)}{(k+1)} + \frac{v^2}{k}\right).\end{split}$$ (2.8.4.2.3)
Setzt man $k=1$, so erhält man
$$\mathcal{I}_1 = \frac{1}{3}(c^3-v^3).$$ (2.8.4.2.4)
Da aber $\mathcal{I}_1$ die Emissionsgeschwindigkeitsverteilung (2.8.4.7) dominiert, folgt, dass auch in diesem Fall die elektrische Kraft für große Geschwindigkeiten klein wird.

2.8.5 Der Quantinodruck bei langsam gleichförmig bewegten Ladungen

Da die Differenzgeschwindigkeit $\vec{v}$ zwischen Quelle und Empfänger in der Alltagsphysik immer sehr viel kleiner ist als $c$, lohnt es sich, diesen Spezialfall gesondert zu betrachten und die Integrale (2.8.4.16) im Quantinodruck (2.8.4.8) durch abgebrochene Taylorreihen anzunähern.

Da es sich bei $\vec{v}$ um einen Vektor handelt, bedient man sich dazu am besten eines Kunstgriffs, indem man anstelle von $\vec{v}$ den Vektor $\kappa\,\vec{v}$ einsetzt. Die eigentliche Reihenentwicklung wird dann in Bezug auf den skalaren Parameter $\kappa$ an der Stelle $0$ durchgeführt. Vernachlässigt man alle Terme der Ordnung größer $\mathcal{O}\{\kappa^2\}$, so erhält man
$$\begin{split}\mathcal{I}_k \approx & c^k \left(\frac{c^2}{k+2} + \frac{(k-1)\,c}{k + 1} \left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right) + \right. \\ & \left. \frac{k-2}{2}\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right)^2 - \frac{k - 2}{2\,k} v^2\right),\end{split}$$ (2.8.5.1)
d.h. der Quantinodruck (2.8.4.8) lautet für Geschwindigkeiten $v \ll c$
$$\begin{split}\vec{\mathcal{P}}_e(\vec{r},\vec{v}) \approx & \frac{a_c\,m_{pho}}{8\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \,\Gamma_k\,c^k \left(\frac{c^2}{k+2} + \frac{(k-1)\,c}{k + 1} \left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right) \right. \\ & + \left. \frac{k-2}{2}\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right)^2 - \frac{k - 2}{2\,k} v^2\right).\end{split}$$ (2.8.5.2)
Wie bereits erwähnt wurde, ist der Quantinodruck direkt proportional zur elektrischen Kraft $\vec{F}$. Um von diesem "Druck" mit der Einheit Kraft pro Fläche zu einer Kraft zu kommen, ist es naheliegend, ihn mit dem Wirkungsquerschnitt der Empfänger-Elementarladung $\sigma_e$ zu multiplizieren, die eine Elementarladung aufgrund des Botenteilchen-Modells der Quantinotheorie haben muss. Möchte man die resultierende Formel noch auf beliebige Ladungsmengen verallgemeinern, muss man zusätzlich noch mit der relativen Ladung der Quelle $q_s/e$ und der relativen Ladung des Empfängers $q_d/e$ multiplizieren. Es folgt
$$\vec{F}(\vec{r},\vec{v}) = \frac{\sigma_e\,q_d\,q_s}{e^2}\,\vec{\mathcal{P}}_e(\vec{r},\vec{v}).$$ (2.8.5.3)
Die Naturkonstanten $a_c$, $m_{pho}$ und $\sigma_e$ sind alle von ihrem her Zahlenwert unbekannt. Eine der Konstanten muss aber so gewählt werden, dass die Gleichung
$$\mu_0 = \frac{a_c\,m_{pho}\,\sigma_e}{e^2}$$ (2.8.5.4)
erfüllt ist. Setzt man das und die Gleichung (2.8.5.2) in die Formel (2.8.5.3) ein so folgt nach etwas Umsortieren der Terme die Beziehung
$$\begin{split}\vec{F}(\vec{r},\vec{v}) = & \frac{\mu_0\,q_d\,q_s}{4\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \,\Gamma_k\,\frac{c^k}{2} \left(\frac{c^2}{k+2} + \frac{(k-1)\,c}{k + 1} \left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right) \right. \\ & + \left. \frac{k-2}{2}\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right)^2 - \frac{k - 2}{2\,k} v^2\right).\end{split}$$ (2.8.5.5)
Diese Gleichung ähnelt der Kraftgleichung (2.2.1.5), die, wie bereits gezeigt wurde, bei langsamen, gleichförmig bewegten Ladungen sowohl den Magnetismus, als auch die Gravitation erklärt. Die Parameter $\Gamma_k$ sind allerdings unbekannt. Sie lassen sich auch nicht eindeutig bestimmen, da es nur vier Gleichungen gibt, durch deren Erfüllung es bereits zu einer vollständigen Übereinstimmung mit der Formel (2.2.1.5) kommt. Diese Gleichungen lauten:
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\Gamma_k\,c^k\,\frac{1}{2(k+2)} \stackrel{!}{=} 1,\quad\sum\limits_{k=1}^{\infty}\Gamma_k\,c^k\,\frac{(k-1)\,c}{2(k+1)} \stackrel{!}{=} 0,$$ (2.8.5.6)
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\Gamma_k\,c^k\,\frac{k-2}{4} \stackrel{!}{=} -\frac{3}{2}\quad\text{und}\quad\sum\limits_{k=1}^{\infty}\Gamma_k\,c^k\,\frac{k-2}{4\,k} \stackrel{!}{=} -1.$$ (2.8.5.7)
Mögliche Parameter $\Gamma_k$, welche diese Gleichungen erfüllen sind
$$\Gamma_2 = \frac{4397}{265\,c^2},\,\Gamma_4 = -\frac{1053}{53\,c^4},\,\Gamma_6=\frac{546}{53\,c^6}\,\text{und}\,\Gamma_8=-\frac{66}{53\,c^8},$$ (2.8.5.8)
sofern alle anderen $\Gamma_k$ null sind. Setzt man diese Parameter (2.8.5.8) in die Formel (2.8.5.5), so gelangt man zu
$$\vec{F}(\vec{r},\vec{v}) = \frac{\mu_0\,q_d\,q_s}{4\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\left(1 - \frac{3}{2}\,\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{v}\right)^2 + v^2\right).$$ (2.8.5.9)
Mit der bekannten Beziehung $\mu_0 = 1/(\varepsilon_0\,c^2)$ folgt schließlich
$$\vec{F}(\vec{r},\vec{v}) = \frac{q_d\,q_s}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{\vec{r}}{r^3}\,\left(1 - \frac{3}{2}\,\left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\frac{\vec{v}}{c}\right)^2 + \frac{v^2}{c^2}\right),$$ (2.8.5.10)
was genau der Gleichung (2.2.1.5) entspricht. Damit ist gezeigt, dass der Quantinomechanismus in der Lage ist, die Weberkraft (2.2.1.5) für langsame, näherungsweise unbeschleunigte elektrische Ladungen zu reproduzieren.