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2.4 Numerische Berechnung des Quantinodrucks und der elektrischen Feldstärke beliebig bewegter Punktladungen

2.4.1 Herleitung des Algorithmus

In den vorangegangenen Abschnitten wurde der Quantinodruck für einige Spezialfälle analytisch untersucht und berechnet. Für allgemeine Situationen, wie z.B. bei den besonders interessanten Mehrteilchenwechselwirkungen, ist eine symbolische Lösung des Integrals (2.1.15) in aller Regel unmöglich. Aus diesem Grund bedarf es einer Methodik, um den Quantinodruck, welcher die retardierende elektromagnetische Feldstärke einer beliebig bewegten Punktladung vollständig beschreibt, numerisch auszuwerten. Die Chance, dass es gelingt ein brauchbares und effizientes Verfahren zu finden, ist nicht schlecht. Immerhin ist der Quantinodruck durch Gleichung (2.1.15) bereits vollständig gegeben und muss nicht erst aus einem Differentialgleichungssystem abgleitet werden.

Der Übersichtlichkeit wegen, wird das Integral des Quantinodrucks
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi} \,\int\limits_{-\infty}^{t} \frac{u(\tau)^2\,\vec{w}(\tau)\,\sgn\left(\vec{w}(\tau)\,\vec{u}(\tau)\right)\,\Gamma\left(w(\tau)\right)\,\intfunc_{0}^{c}\left(u(\tau)\right)}{(t-\tau)^3\,w(\tau)^3} \,\d{\tau},$$ (2.1.15)
an dieser Stelle noch einmal aufgeführt. Ebenso die verwendeten Funktionen
$$\vec{w}(\tau) := \frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(\tau)}{t-\tau} - \dot{\vec{r}}_s(\tau)$$ (2.1.11)
und
$$\vec{u}(\tau) := \frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(\tau)}{t-\tau} - \dot{\vec{r}}_d(t).$$ (2.1.12)


Zur elektrischen Feldstärke gelangt man mit Hilfe der Gleichung (2.2.2.3):
$$\vec{F} = \frac{\sigma_e\,q_d\,q_s}{e^2}\,\vec{\mathcal{P}}_e(\vec{r},\vec{v}).$$ (2.4.1.1)
Hierbei ist $\vec{F}$ die Kraft, die eine Quellladung $q_s$ auf eine Zielladung $q_d$ ausübt. Da die elektrische Feldstärke $\vec{E}$ durch
$$\vec{E} := \frac{\vec{F}}{q_d}$$ (2.4.1.2)
definiert ist, folgt
$$\vec{E} = \frac{\sigma_e\,q_s}{e^2}\,\vec{\mathcal{P}}_e(\vec{r},\vec{v}).$$ (2.4.1.3)
Mit Hilfe der Gleichung (2.2.2.7) lässt sich die unbekannte Konstante $\sigma_e$ ersetzen. Man gelangt zu
$$\vec{E} = \frac{q_s\,\mu_0}{a_c\,\mathcal{m}_{pho}\,\mu_h}\,\vec{\mathcal{P}}_e(\vec{r},\vec{v}).$$ (2.4.1.4)
Ein Vergleich mit Gleichung (2.1.15) zeigt, dass die vom Zahlenwert her unbekannten Konstanten $a_c$ und $\mathcal{m}_{pho}$ nicht benötigt werden, da sie sich herauskürzen. Die einzig verbleibende unbekannte Konstante ist $\mu_h$. Aber auch diese kürzt sich heraus, da sie in der Funktion $\Gamma$ enthalten ist.

Da sich Quantinodruck und elektrische Feldstärke nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden, ist es letztlich ohne Bedeutung, welche der beiden Größen berechnet wird. Einen Algorithmus zur numerischen Berechnung findet man, indem man die Ausdrücke (2.1.15), (2.1.11) und (2.1.12) einige Momente betrachtet. Man erkennt, dass der auf ein Objekt mit der Bahnkurve $\vec{r}_d(t)$ wirkende Quantinodruck nur von dessen Ort zum Zeitpunkt $t$, sowie von dessen Geschwindigkeit $\dot{\vec{r}}_d(t)$ abhängt. Mit anderen Worten: Die Historie des Empfängers ist irrelevant. Aus diesem Grund kann man $\vec{r}_d(t)$ einfach mit $\vec{r}$ und $\dot{\vec{r}}_d(t)$ mit $\vec{v}$ abkürzen. Für die aussendende Ladung mit der Bahnkurve $\vec{r}_s(\tau)$ gilt jedoch das Gegenteil. Hier ist die Historie von entscheidender Bedeutung und man benötigt alle Orte $\vec{r}_s(\tau)$, sowie Geschwindigkeiten $\dot{\vec{r}}_s(\tau)$ für alle $\tau$ vom "Anbeginn der Zeit" bis zur Gegenwart $\tau = t$.

Dass der Quantinodruck einer Ladung von der gesamten Historie der Ladung abhängt, ist von weitreichender Bedeutung. Letztlich entstehen dadurch faszinierende physikalische Effekte, wie z.B. die Fähigkeit eines Dipols mit seiner eigenen Welle zu interferieren. Sollte der Leser dabei an die Quantenmechanik denken, so liegt er hierbei vollkommen richtig. Auch das zweite Newtonsche Gesetz $Kraft = Masse \cdot Beschleunigung$ hat letztlich seine Ursache in dieser Abhängigkeit der elektromagnetischen Kraft von der Historie der aussendenden Ladung.

Die Abhängigkeit des Quantinodrucks von der Vergangenheit der Quellladung ist aber auch eine praktische Schwierigkeit, da man auf diese Weise gezwungen wird, unendlich viele Anfangsbedingungen zu berücksichtigen. Glücklicherweise wird der Einfluss der Historie umso kleiner, je weiter diese Vergangenheit zurück liegt. Dies wird zum einen durch den Term $t-\tau$ unter dem Bruchstrich im Integral der Quantinodichte (2.1.10) bewirkt. Zum anderen tritt auch im Parameter der Funktion $\Gamma$ ein $t-\tau$ unterhalb des Bruchstriches auf. Und da die Funktionswerte der Funktion $\Gamma(w)$ im Wesentlichen linear zur Geschwindigkeit $w$ sind, bewirkt dies für größer werdendes $t-\tau$ eine kleiner werdende Gewichtung durch $\Gamma$. In der Praxis reicht es daher aus, eine gewisse Historie zu berücksichtigen und alles zuvor Gewesene zu vernachlässigen, indem man das Integral nach unten begrenzt.

Berechnet man die Bahnkurve eines Objektes unter Einfluss einer Kraft numerisch (z.B. mit dem Runge-Kutta-Verfahren), so erhält man eine Folge von Orten
$$\vec{r}_i = \{\vec{r}_0, \vec{r}_1, \vec{r}_2, ...,\vec{r}_n\}$$ (2.4.1.5)
und Geschwindigkeiten
$$\vec{v}_i = \{\vec{v}_0, \vec{v}_1, \vec{v}_2, ...,\vec{v}_n\}$$ (2.4.1.6)
für die Zeitpunkte
$$\tau_i = \{\tau_0, \tau_1, \tau_2, ...,\tau_n\}.$$ (2.4.1.7)
Eine naheliegende Grundidee für eine numerische Lösung besteht darin, die Orte $\vec{r}_s(\tau)$ und Geschwindigkeiten $\dot{\vec{r}}_s(\tau)$ der aussendenden Ladung stückweise linear zu interpolieren und als Stützstellen der Interpolation die Werte (2.4.1.5), (2.4.1.6) und (2.4.1.7) zu verwenden. Mit diesem Ansatz folgen die Näherungen
$$\vec{r}_s(\tau) \approx \sum\limits_{j=0}^{n-1} \intfunc_{\tau_{j}}^{\tau_{j+1}}(\tau)\left(\vec{A}_j + \tau\,\vec{B}_j\right)$$ (2.4.1.8)
und
$$\dot{\vec{r}}_s(\tau) \approx \sum\limits_{j=0}^{n-1} \intfunc_{\tau_{j}}^{\tau_{j+1}}(\tau)\left(\vec{C}_j + \tau\,\vec{D}_j\right),$$ (2.4.1.9)
wobei zur Verkürzung der Schreibweise die Konstanten
$$\vec{A}_j := \frac{\vec{r}_{j}\,\tau_{j+1}-\vec{r}_{j+1}\,\tau_j}{\tau_{j+1}-\tau_j},\quad \vec{B}_j := \frac{\vec{r}_{j+1}-\vec{r}_{j}}{\tau_{j+1}-\tau_j}$$ (2.4.1.10)
und
$$\vec{C}_j := \frac{\vec{v}_{j}\,\tau_{j+1}-\vec{v}_{j+1}\,\tau_j}{\tau_{j+1}-\tau_j},\quad \vec{D}_j := \frac{\vec{v}_{j+1}-\vec{v}_{j}}{\tau_{j+1}-\tau_j}$$ (2.4.1.11)
eingeführt wurden. Die Interpolationen (2.4.1.8) und (2.4.1.9) lassen sich nun in die Definitionen (2.1.11) und (2.1.12) einsetzen. Man erhält die Näherungen
$$\vec{w}(\tau) \approx \sum\limits_{j=0}^{n-1} \intfunc_{\tau_{j}}^{\tau_{j+1}}(\tau)\,\vec{w}_j(\tau)\quad\textrm{mit}\quad \vec{w}_j(\tau) := \frac{\vec{r} - \vec{A}_j -\tau\,\vec{B}_j}{\tau_n-\tau} - \vec{C}_j - \tau\,\vec{D}_j$$ (2.4.1.12)
und
$$\vec{u}(\tau) \approx \sum\limits_{j=0}^{n-1} \intfunc_{\tau_{j}}^{\tau_{j+1}}(\tau)\,\vec{u}_j(\tau)\quad\textrm{mit}\quad \vec{u}_j(\tau) := \frac{\vec{r} - \vec{A}_j -\tau\,\vec{B}_j}{\tau_n-\tau} - \vec{v}.$$ (2.4.1.13)
Setzt man dieses in die Gleichung (2.1.15) ein, so zerfällt das Integral in eine Summe von Teilintegralen, die sich jeweils über einen einzelnen Zeitschritt erstrecken. Man erhält
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi} \,\sum\limits_{i=0}^{n-1}\,\int\limits_{\tau_i}^{\tau_{i+1}}\,\vec{K}_i(\tau)\,\d{\tau}$$ (2.4.1.14)
mit
$$\vec{K}_i(\tau) := \frac{u_i(\tau)^2\,\vec{w}_i(\tau)\,\sgn\left(\vec{w}_i(\tau)\,\vec{u}_i(\tau)\right)\,\Gamma\left(w_i(\tau)\right) \,\intfunc_{0}^{c}\left(u_i(\tau)\right)}{(\tau_n-\tau)^3\,w_i(\tau)^3}.$$ (2.4.1.15)


Die Lösung der Integrale des Typs
$$\int\limits_{\tau_i}^{\tau_{i+1}}\,\vec{K}_i(\tau)\,\d{\tau},$$ (2.4.1.16)
kann mit üblichen numerischen Integrationsverfahren (z.B. Simpsonregel) erfolgen. Dabei ist jedoch darauf zu achten, das der Integrand $\vec{K}_i(\tau)$ Unstetigkeiten und Singularitäten enthalten kann, wobei ersteres zum Einen daher rührt, dass der Term $\intfunc_{0}^{c}\left(u_i(\tau)\right)$ verschwindet, wenn der Wert von $u_i(\tau)$ die Lichtgeschwindigkeit $c$ überschreitet. Zum anderen kann auch die Vorzeichenfunktion $\sgn$ zu Sprüngen im Funktionswert von $\vec{K}_i(\tau)$ führen. Singularitäten können hingegen auftreten, wenn der Term $w_i(\tau)$ verschwindet und die Funktion $\Gamma$ einen linearen Term enthält. Einen konstanten Term enthält sie grundsätzlich nicht, wie in Abschnitt 2.2.3 gezeigt wurde. Weiterhin würde eine Singularität auftreten, wenn der Term $\tau_n-\tau$ Null wird. Dieses entspricht aber der Frage nach dem Wert des Quantinodrucks am Ort der Ladung selbst. Für diesen Ort ist die Gesetzmäßigkeit (2.1.15) aber sowieso nicht gültig, da die Modellannahme einer kontinuierlichen Quantinodichte in unmittelbarer Nähe der emittierenden Ladung nicht erfüllt ist und hier der Effekt der Quantisierung dominiert.

Singularitäten sind bei der Berechnung des Integrals also eher die Ausnahme. Unstetigkeiten treten jedoch regelmäßig auf und müssen bei der Berechnung systematisch berücksichtigt werden, da numerische Quadratur üblicherweise einen stetigen Integranden voraussetzt. Unstetigkeiten sind jedoch kein Problem, wenn bekannt ist, wo sie sich befinden, da es in diesem Fall möglich ist, die Integrationsintervalle so zu wählen, dass der Integrand keine Unstetigkeiten enthält.

Der erste Problemterm im Integrand $\vec{K}_i(\tau)$ ist $\intfunc_{0}^{c}\left(u_i(\tau)\right)$. Dieser ist nur für $u_i(\tau) = \Vert\vec{u}_i(\tau)\Vert = c$ unstetig. Wegen Gleichung (2.4.1.13) folgt
$$\left(\frac{\vec{r} - \vec{A}_i -\tau\,\vec{B}_i}{\tau_n-\tau} - \vec{v}\right)\cdot\left(\frac{\vec{r} - \vec{A}_i -\tau\,\vec{B}_i}{\tau_n-\tau} - \vec{v}\right) = c^2.$$ (2.4.1.17)
Nach etwas Umformen erhält man die quadratische Gleichung
$$\left\Vert\vec{E}_i + \tau\,\vec{F}_i\right\Vert^2 = c^2 (\tau_n-\tau)^2$$ (2.4.1.18)
mit
$$\vec{E}_i := \vec{r} - \vec{A}_i - \vec{v}\,\tau_n\quad\mathrm{und}\quad\vec{F}_i := \vec{v} -\vec{B}_i.$$ (2.4.1.19)
Die beiden Lösungen der Gleichung (2.4.1.18) lauten
$$\tau_{1/2} = \frac{c^2\,\tau_n + \vec{E}_i\,\vec{F}_i \pm \sqrt{\left(c^2\,\tau_n + \vec{E}_i\,\vec{F}_i \right)^2 + \left(c^2 - F_i^2\right)\,\left(E_i^2 - c^2\,\tau_n^2\right)}}{c^2 - F_i^2},$$ (2.4.1.20)
wobei eine Lösung nur dann von Interesse ist, wenn diese in der Vergangenheit liegt. Dieses ist aber nur für $\tau_2$ gegeben, wie man sich überlegen kann. Aus diesem Grund ist es sehr leicht möglich, vor jeder numerischen Integration in der Summe (2.4.1.14) zu überprüfen, ob $u_{i}(\tau_i)$ oder $u_{i}(\tau_{i+1})$ größer ist als $c$. Sind beide kleiner, so kann die Integration über das komplette Intervall erfolgen. Ist einer der beiden größer $c$, so ist das Intervall auf den Bereich zu begrenzen, in dem $w_{i}(\tau) \leq c$ gilt. Sind sogar beide größer, so kann die Integration komplett entfallen, da die Intervallfunktion im gesamten Integrationsgebiet Null liefert.

Die zweite Quelle für Unstetigkeit ist der Term $\sgn\left(\vec{w}_i(\tau)\,\vec{u}_i(\tau)\right)$. Das bedeutet, dass für jedes Integrationsintervall zu prüfen ist, ob die Gleichung
$$\left(\frac{\vec{r} - \vec{A}_i -\tau\,\vec{B}_i}{\tau_n-\tau} - \vec{C}_i - \tau\,\vec{D}_i\right)\cdot\left(\frac{\vec{r} - \vec{A}_i -\tau\,\vec{B}_i}{\tau_n-\tau} - \vec{v}\right) = 0$$ (2.4.1.21)
eine oder mehrere Lösungen enthält, die innerhalb der Integrationsgrenzen liegen. Durch Multiplikation beider Seiten mit $(\tau_n-\tau)^2$ und etwas Umsortieren folgt die kubische Gleichung
$$\left(\vec{G}_i + \tau\,\vec{H}_i + \tau^2\,\vec{D}_i\right)\cdot\left(\vec{E}_i + \tau\,\vec{F}_i\right) = 0$$ (2.4.1.22)
mit
$$\vec{G}_i := \vec{r} - \vec{A}_i - \vec{C}_i\,\tau_n\quad\mathrm{und}\quad\vec{H}_i := \vec{C}_i - \vec{B}_i-\vec{D}_i\,\tau_n.$$ (2.4.1.23)
Die drei Nullstellen ließen sich beispielsweise mit den Cardanischen Formeln berechnen. Sollten tatsächlich Lösungen existieren, die innerhalb der Integrationsgrenzen liegen, so könnte man das Integral in entsprechende Teilintegrale zerlegen. Da die Berechnung der Nullstellen aufwendig ist, bietet es sich an, den Integrationsfehler zu kontrollieren, indem man jedes Integral einmal für das komplette Intervall und einmal als Summe zweier gleich großer Teilintervalle berechnet. Beides sollte, sofern die Funktion im Intervall hinreichend gutartig ist, also keine Unstetigkeiten enthält, zum beinahe gleichen Ergebnis führen. Falls nicht, wird die Integration weiter rekursiv in Teilintervalle zerlegt, bis der Fehler hinreichend klein ist. Diese Vorgehensweise ist auch in Hinblick auf den generellen numerischen Fehler von Vorteil, also auch dann, wenn keine Unstetigkeiten vorliegen.

Eine Beispielimplementierung des Algorithmus in C++ findet sich hier. Im nachfolgenden Abschnitten wird die Verwendung anhand einiger Beispiele demonstriert und diskutiert.