2.8 Quantinofeldtheorie
2.8.1 Die Quantinodichte einer einzelnen elektrischen Punktladung
In Abschnitt 2.7 wurde erläutert, weshalb die Quantinotheorie davon ausgeht, dass die elektrische Kraft und damit auch der Magnetismus und die Gravitation durch Austausch- oder Botenteilchen vermittelt werden, die sich relativ zur Quellladung in alle Richtungen ausbreiten und beim Auftreffen auf eine andere Ladung eine bestimmte definierte Impulsänderung verursachen. In diesem Abschnitt wird der zuvor nur qualitativ beschriebene Mechanismus quantitativ untersucht und eine Feldtheorie erarbeitet. Es wird damit begonnen die Dichte des Feldes der Botenteilchen in Abhängigkeit von der Bahnkurve einer einzelnen emittierenden Quelle zu berechnen.Im Abschnitt 2.7.2 wurde erwähnt, dass die Quantinotheorie annimmt, dass die Botenteilchen, die Quantinos genannt werden, nicht mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit abgestrahlt werden, sondern das ihre Emissionsgeschwindigkeit $w$ einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung $\Gamma(w)$ gehorcht. Über die Form dieser Verteilung kann an dieser Stelle noch nicht viel ausgesagt werden, außer dass die Geschwindigkeit $w=0$ nicht vorkommen kann. Wäre dem so, so würden sich am Ort der Punktladung mit der Zeit immer mehr Quantinos ansammeln. Bei einer Beschleunigung der Quelle, würde die entstandene Singularität zurückbleiben, was unphysikalisch wäre.
Um zu einer kontinuierlichen Dichteverteilung zu kommen, muss zunächst von der Tatsache abstrahiert werden, dass das Feld der Quantinos eigentlich aus einzelnen diskreten Feldquanten besteht. Diese Art der Näherung wird in der Physik häufig durchgeführt; beispielsweise kann man ein Gas als ein Kontinuum ansehen und von der Tatsache abstrahieren, dass es eigentlich aus einzelnen Molekülen besteht, indem man eine Dichte definiert. Das wiederum ist nichts weiter, als die Anzahl von Molekülen bezogen auf ein bestimmtes Volumen. Die Wahl des Bezugsvolumens ist natürlich willkürlich. Um sich von dieser Beliebigkeit zu befreien, wählt man das kleinstmögliche Volumen, nämlich Null. Die absolute Anzahl von Molekülen in einem Nullvolumen ist ebenfalls Null. Das Verhältnis von Anzahl zu Volumen, nämlich die Dichte, ist dies in der Regel nicht.
- Abbildung 2.8.1.1: Die Emissionsphäre (rot) löst sich zum Zeitpunkt $\tau$ von der Quelle und bewegt sich geradlinig weiter.
$$\vec{r}_q(t,\tau) = \vec{r}_s(\tau) + (\vec{w} + \dot{\vec{r}}_s(\tau))(t-\tau)$$ | (2.8.1.1) |
$$\vec{r}_c(t,\tau) = \vec{r}_s(\tau) + \dot{\vec{r}}_s(\tau)(t-\tau)$$ | (2.8.1.2) |
Mit Hilfe der Emissionsphäre (2.8.1.1) ist es möglich, eine Dichte $p_w$ aller Quantinos zu modellieren, die jemals von einer Punktladung $e$ mit einer Emissionsgeschwindigkeit $w$ emittiert wurden. Für jeden Raumpunkt $\vec{r}$ ist die Dichte zu jedem Zeitpunkt $t$ durch
$$p_w(\vec{r},w,t) = \int\limits_{-\infty}^{t} p_{\tau}(\vec{r},w,t,\tau)\,\d{\tau}$$ | (2.8.1.3) |
$$p_{\tau}(\vec{r},w,t,\tau) = \frac{a_c}{4\,\pi} \Gamma(w) \frac{ \delta\left(\Vert\vec{r}-\vec{r}_c(t,\tau)\Vert- w (t-\tau)\right)}{\Vert\vec{r}-\vec{r}_c(t,\tau)\Vert^2}$$ | (2.8.1.4) |
Da die Quantinodichte prinzipiell nur lokal durch einen Empfänger wahrgenommen werden kann, muss in das Bezugssystem eines solchen Empfängers transformiert werden. Zu diesem Zweck überlegt man sich zunächst, dass ein zum Zeitpunkt $\tau$ am Ort $\vec{r}_s(\tau)$ ausgesendetes Quantino aus Sicht des Empfängers die Momentangeschwindigkeit
$$u = \left\Vert\frac{\vec{r}_d(t) - \vec{r}_s(\tau)}{t-\tau} - \dot{\vec{r}}_d(t)\right\Vert$$ | (2.8.1.5) |
Wenn man nun die Dichte aller Quantinos mit der Geschwindigkeit $u$ aus Sicht eines bewegten Empfängers zum Zeitpunkt $t$ wissen möchte, so muss man Ausdruck (2.8.1.3) filtern, indem man schreibt
Zum Abschluss ist es noch erforderlich, über alle Quantinogeschwindigkeiten $u$ zu integrieren. Dabei ist, wie in Abschnitt 2.7.2 erwähnt wurde, darauf zu achten, dass die Empfängerladung nicht mit Quantinos wechselwirken kann, die aus ihrer Sicht zu schnell, also schneller als $c$, sind. Dies stellt sicher, dass die universelle relativgeschwindigkeitsunabhängige Konstanz der Lichtgeschwindigkeit eingehalten wird.
Die effektive, d.h. die subjektiv vom Empfänger wahrnehmbare, Quantinodichte lautet somit
$$p_e(t) = \int\limits_0^c \,p_u(u,t)\,\d{u} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \,\intfunc_{0}^{c}(u)\,\,p_u(u,t)\,\d{u}.$$ | (2.8.1.8) |
Nach Ausführung der Integration über $u$ bleibt
Unter der vereinfachenden Annahme, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung $\Gamma(w)$ im Bereich bis zur Lichtgeschwindigkeit und knapp darüber hinaus näherungsweise linear ist, vereinfacht sich die effektive Quantinodichte zu
$$\Gamma(w) \approx \Gamma_1\,w$$ | (2.8.1.11) |
2.8.2 Quantinodichte eines schwingenden Dipols
2.8.2.1 Die Berechnung der effektiven Quantinodichte
In diesem Abschnitt wird die im vorherigen Abschnitt hergeleitete Formel (2.8.1.10) anhand eines aus zwei Elementarladungen bestehenden, schwingenden Dipols analysiert. Der Einfachheit halber wird davon ausgegangen, dass beide zunächst am Koordinatenursprung ruhen. Ab $t=0$ soll die negative Ladung jedoch damit beginnen, um den Nullpunkt herum in Richtung der z-Achse (in Abbildung 2.8.2.2.1; also nach oben und unten) zu schwingen. Für die Geschwindigkeit der negativen Ladung gilt die Beziehung$$\dot{\vec{r}}_{s}^{(-)}(t) = l\,\omega\,\vec{e}_z\,\intfunc_{0}^{\infty}(t)\, \cos(\omega t).$$ | (2.8.2.1.1) |
Aufgrund dieser Näherung gilt
$$\vec{r}_s^{(-)}(\tau) = l\,\vec{e}_z\,\intfunc_{0}^{\infty}(t)\, \sin(\omega t) \approx 0.$$ | (2.8.2.1.2) |
$$\vec{r}_c^{(-)}(t,\tau) = l\,\omega\,\vec{e}_z\,\intfunc_{0}^{\infty}(\tau)\, \cos(\omega \tau)(t-\tau).$$ | (2.8.2.1.3) |
Zunächst entledigt man sich der Intervallfunktion über dem Bruchstrich, indem man ausnutzt, dass die untere Grenze ohne Bedeutung ist, da das Argument der Intervallfunktion aufgrund der Betragsbildung und wegen $t\geq\tau$ niemals kleiner werden kann als Null. Die obere Grenze ist hingegen erreicht, wenn $\tau$ den Wert
$$\tau_c = \frac{c^2\,t + \vec{r}_0 \vec{v} - \sqrt{(\vec{r}_0 \vec{v})^2 + c^2 (\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)^2 - r_0^2 v^2}}{c^2 - v^2}$$ | (2.8.2.1.5) |
$$\tau_c \approx \frac{(c\,r_0 - \vec{r}_0\,\vec{v})(c\,t - r_0)}{c^2\,r_0}$$ | (2.8.2.1.6) |
Die Gleichung (2.8.2.1.5) kann nun genutzt werden, um die Gleichung (2.8.2.1.4) in
Die effektive Quantinodichte der positiven Ladung erhält man, indem man in der oberen Lösung $l=0$ und damit die Geschwindigkeit der Ladung zu Null setzt. Man bekommt
$$p_e^{(+)}(t) = \frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \frac{1}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert} \frac{1}{t-\tau_c}.$$ | (2.8.2.1.12) |
$$ p_e(t) = -\frac{a_c\,\Gamma_1}{4\,\pi} \frac{l\,\omega\,\vec{e}_z\,(\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)}{\Vert\vec{r}_0 + \vec{v}\,t\Vert^3} \intfunc_{0}^{\infty}(\tau_c)\,\varrho(t,\tau_c)$$ | (2.8.2.1.13) |
2.8.2.2 Auswertung des Ergebnisses
- Abbildung 2.8.2.2.1: Die effektive Quantinodichte des Dipols bei einer Schwingungsfrequenz von 25kHz aus Sicht eines ruhenden Empfängers. Die Angaben der x- und y-Achse sind in Meter. Die Gesamtzeit der Animation entspricht 500 $\mu s$
Wenn man $\tau_c$ betrachtet stellt man fest, dass es sich hierbei um eine Funktion handelt, die nur von der aktuellen Zeit $t$, der Lichtgeschwindigkeit $c$, der Geschwindigkeit des Empfängers $\vec{v}$, sowie dessen Ort $\vec{r}_0$ zum Zeitpunkt des Beginns der Schwingung des Dipols abhängt. Eine interessante Fragestellung ist nun, zu welchem Zeitpunkt $t$ dieser Ausdruck Null wird, d.h. für welches $t$ gilt
$$\frac{c^2\,t + \vec{r}_0 \vec{v} - \sqrt{(\vec{r}_0 \vec{v})^2 + c^2 (\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)^2 - r_0^2 v^2}}{c^2 - v^2} = 0.$$ | (2.8.2.2.1) |
$$(c^2\,t + \vec{r}_0 \vec{v})^2 = (\vec{r}_0 \vec{v})^2 + c^2 (\vec{r}_0 + \vec{v}\,t)^2 - r_0^2 v^2.$$ | (2.8.2.2.2) |
$$c^4\,t^2 = c^2\,r_0^2 + c^2\,v^2\,t^2 - r_0^2 v^2.$$ | (2.8.2.2.3) |
$$t = \frac{r_0}{c}.$$ | (2.8.2.2.4) |
Es ist bemerkenswert, dass dieses Ergebnis nicht mehr von $\vec{v}$ sondern nur noch vom Abstand $r_0$ des Empfängers zur Quelle abhängt. Das heißt, es spielt überhaupt keine Rolle, mit welcher Geschwindigkeit sich der Empfänger bewegt! Die Dichteschwankung benötigt immer die gleiche Zeit $r_0/c$ um den Empfänger zu erreichen!
Das sieht man auch an den Beispielen, die in den Abbildungen 2.8.2.2.1, 2.8.2.2.2 und 2.8.2.2.3 dargestellt sind. Sie zeigen die zeitliche Entwicklung der effektiven Quantinodichte bei einer Frequenz des Dipols von $25\,kHz$. Dies entspricht einer elektromagnetischen Welle noch unterhalb des Langwellenbereiches. Aufgrund des hohen Wertes der Lichtgeschwindigkeit, haben solche Wellen kilometerlange Wellenlängen, was diese Frequenz für die Darstellung gut geeignet macht.
Es muss im Übrigen an dieser Stelle darauf hingewiesen werden, dass die effektive Quantinodichte noch nicht gleichbedeutend mit einer elektromagnetischen Welle ist, denn eine solche ist im Gegensatz zur Dichte vektoriell. Allerdings enthält auch die effektive Quantinodichte bereits viele interessante Eigenschaften, was sie zu einem wichtigen Zwischenschritt macht.
Die visuelle Analyse beginnt mit Abbildung 2.8.2.2.1. Sie zeigt die zeitliche Entwicklung der effektiven Quantinodichte multipliziert mit dem Abstandsquadrat der Quelle aus der Sicht eines ruhenden Empfängers. Man erkennt, wie sich zum Zeitpunkt $0$ eine Schwingung auszubreiten beginnt. Nach etwa $340\,\mu s$ ist die gesamte Zeichenfläche ausgefüllt. Das bedeutet, dass sich die Welle innerhalb dieser Zeitspanne um $100\,km$ fortbewegt hat, was wiederum ziemlich genau der Lichtgeschwindigkeit entspricht. Beim Betrachten der Animation fällt weiterhin auf, dass sich an der x-Achse das Vorzeichen der Welle umkehrt. Dieses ist nicht weiter verwunderlich, da es sich ja um einen schwingenden Dipol handelt, also einer zeitveränderlichen Ladungsverschiebung, bei der auf der einen Seite immer die Ladung dominiert, die auf der anderen unterlegen ist. Wie man außerdem erkennen kann, löscht sich die Schwingung auf der x-Achse selbst vollständig aus. Dicht ober- und unterhalb hat man aber ein ständig wechselndes Vorzeichen. Der Vorzeichenwechsel selbst läuft mit Lichtgeschwindigkeit die Achse entlang. Es ist sofort klar, dass es sich hier um einen Effekt handelt, der eng mit den TEM-Wellen (transversale elektromagnetische Wellen) in Verbindung steht.
- Abbildung 2.8.2.2.2: Die Quantinodichte aus Sicht eines sich nach oben bewegenden Empfängers (z-Richtung).
- Abbildung 2.8.2.2.3: Die Quantinodichte aus Sicht eines sich nach rechts bewegenden Empfängers (x-Richtung).
Wie erscheint das Ganze für einen bewegten Empfänger? Die Abbildungen 2.8.2.2.2 und 2.8.2.2.3 zeigen es. Auf der linken Seite ist die effektive Quantinodichte aus der Sicht eines sich in die z-Richtung bewegendes Empfängers dargestellt, während auf der rechten Seite die Situation aus dem Standpunkt eines sich in die x-Richtung bewegenden Empfängers verdeutlicht wird. Der Betrag der Geschwindigkeit des Beobachters ist in beiden Abbildungen gleich, nämlich $c/5$.
Auch in den Abbildungen 2.8.2.2.2 und 2.8.2.2.3 ist klar zu sehen, dass sich die Welle mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet, da der äußere Ring einen perfekten Kreis bildet, der den bewegten Beobachter nicht früher oder später erreicht, als den ruhenden. Allerdings sind auch deutliche Unterschiede zur Abbildung 2.8.2.2.1 zu erkennen. So sieht man beispielsweise in beiden Abbildungen einen ausgeprägten Dopplereffekt. Auch der Dipol selbst scheint sich zu bewegen, was nicht weiter verwunderlich ist, da die Situation ja jeweils aus der Sicht eines bewegten Empfängers dargestellt wird.
Wie in den Abbildungen 2.8.2.2.1, 2.8.2.2.2 und 2.8.2.2.3 klar zu erkennen ist, bewegt sich die Schwingung nicht nur immer mit der gleichen Geschwindigkeit $c$, auch die Form der Schwingung bleibt erhalten. Der aufmerksame Leser mag sich fragen, was mit den Quantinos geschieht, die sich langsamer als $c$ bewegen? Sollte es nicht zu einer Verschleifung der Schwingung kommen? Tatsächlich ist das nicht so, da sich die langsameren Quantinos von ihrer Wirkung her gegenseitig neutralisieren.
Um das noch deutlicher zu zeigen, wird zum zum Abschluss ein Dipol betrachtet, bei dem die Schwingung nach genau einer Periode wieder abgeschaltet wird. Mathematisch kann man das dadurch modellieren, dass man in Gleichung (2.8.2.1.1) die Intervallfunktion nach oben hin mit $2\,\pi/\omega$ begrenzt. Die nachfolgende Berechnung der zugehörigen effektiven Quantinodichte ist dann bis zur Gleichung (2.8.2.1.8) vollkommen identisch. Erst beim Herausziehen der Intervallfunktion, d.h. bei Formel (2.8.2.1.9), entstehen Unterschiede, da man nun auch auf die obere Grenze achten muss.
Generell gilt für eine beliebige Funktion $f$ der Zusammenhang
- Abbildung 2.8.2.2.4: Die effektive Quantinodichte eines nur eine Periode lang schwingenden Dipols aus Sicht eines ruhenden Empfängers.
- Abbildung 2.8.2.2.5: Die effektive Quantinodichte eines nur eine Periode lang schwingenden Dipols aus Sicht eines sich nach rechts bewegenden Empfängers.
Beide Abbildungen zeigen, dass sich die Schwingung tatsächlich mit Lichtgeschwindigkeit und nur mit Lichtgeschwindigkeit fortpflanzt. Von den langsameren Quantinos verbleibt lediglich eine Art langsam abklingendes Dipolfeld in unmittelbarer Nähe des Dipols.