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2.3.2 Die Primärwelle des Hertzschen-Dipols

Der in Abschnitt 2.3 hergeleitete Quantinodruck (2.3.1.11) gilt für eine einzelne harmonisch schwingende positive Elementarladung. Für die nachfolgenden Überlegungen wird jedoch ein in sich selbst neutrales Objekt, ein sogenannter Dipol, benötigt. Zu diesem Zweck wird eine zweite, entgegengesetzt schwingende negative Elementarladung hinzugefügt, indem von Formel (2.3.1.11) der gleiche Term mit invertierten $\mathcal{C}_k$'s subtrahiert wird. Der erste Term entfällt dadurch, während sich der zweite verdoppelt. Man erhält den Ausdruck
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{a_c\,\omega\,\mathcal{m}_{pho}}{4\,\pi}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma_k\,\vec{\xi}_k}{r^{3-k}}\,\left(r^2\,\mathcal{C}_{k+2}-2\,\vec{r}\,\vec{v}\,\mathcal{C}_{k+1} + v^2\,\mathcal{C}_{k}\right).$$ (2.3.2.1)

Obwohl die Formel (2.3.2.1) bereits einige Näherungen enthält, ist sie für die weiteren Überlegungen noch immer zu komplex. Insbesondere die $\mathcal{C}_k$ Faktoren (2.3.1.12) machen Probleme, da sie den Integralcosinus sowie den Integralsinus enthalten. Man kann sich dieser Terme allerdings entledigen, indem man die Näherungen
$$\mathrm{Ci}(x) \approx \frac{\sin(x)}{x}$$ (2.3.2.2)
und
$$\mathrm{Si}(x) \approx \frac{\pi}{2}-\frac{\cos(x)}{x}$$ (2.3.2.3)
verwendet, die für $x > 2\,\pi$ bereits recht brauchbar sind und die für wachsendes $x$ immer besser werden. Mit ihrer Hilfe lässt sich Formel (2.3.1.12) zu
$$\mathcal{C}_k \approx \frac{(-\omega)^{k-1}}{(k-1)!}\,\sum\limits_{i=2}^{k-1}\frac{(i-1)!}{(\omega\,T_c)^{i}}\,\cos\left(\omega\,(t-T_c)+(k+i-1)\,\frac{\pi}{2}\right)$$ (2.3.2.4)
vereinfachen, was besonders für das Fernfeld, also für mehrere Wellenlängen Abstand, eine ausgezeichnete Approximation darstellt.

Eine weitere Vereinfachungsmöglichkeit besteht darin, für die Emissionsverteilung $\Gamma$ Linearität anzunehmen, d.h. Formel (1.3.10) zu verwenden. In Abschnitt 2.2.3 wurde gezeigt, dass der korrekte Verlauf etwas davon abweicht. Vergleicht man den Näherungsansatz (1.3.10) mit der genaueren Abschätzung (2.2.3.9) erkennt man, dass $\Gamma_1 = 6\,\mu_h/c$ sein muss, sofern man die Parameter höheren Grades vernachlässigt. Mit Hilfe dieser Näherung folgt aus Gleichung (2.3.2.1) das Modell
$$\begin{eqnarray}\vec{\mathcal{P}}_e & \approx & \frac{a_c\,\omega\,\mathcal{m}_{pho}\,\mu_h}{4\,\pi\,c}\,\frac{6\,\vec{\xi}_1}{r^{2}}\,\left(r^2\,\mathcal{C}_{3}-2\,\vec{r}\,\vec{v}\,\mathcal{C}_{2} + v^2\,\mathcal{C}_{1}\right) \\ & = & \frac{3\,a_c\,\omega\,\mathcal{m}_{pho}\,\mu_h}{4\,\pi\,c\,T_c^2}\,\vec{\xi}_1\,\cos(\omega\,(t-T_c)).\end{eqnarray}$$ (2.3.2.5)
Durch Ersetzen von $\vec{\xi}_1$ mit der Definition (2.3.1.9) folgt
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{3\,a_c\,\omega\,\mathcal{m}_{pho}\,\mu_h}{4\,\pi\,c\,T_c^2}\,\left(\vec{d} - 2\,(\vec{r}\cdot\vec{d})\,\frac{\vec{r}}{r^2}\right)\,\cos(\omega\,(t-T_c)).$$ (2.3.2.5)
$T_c$ ist hierbei durch Gleichung (2.2.1.5) gegeben. Zum Abschluss wird noch die Konstante $\mu_h$ durch ihre Definition (2.2.2.7) ersetzt und es folgt
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{3\,e^2\,\mu_0\,\omega}{4\,\pi\,\sigma_e\,c\,T_c^2}\,\left(\vec{d} - 2\,(\vec{d}\cdot\vec{r})\,\frac{\vec{r}}{r^2}\right)\,\cos\left(\omega\left(t-T_c\right)\right).$$ (2.3.2.6)

Alternativ kann man anstatt des Quantinodruckes $\vec{\mathcal{P}}_e$ auch die elektrische Feldstärke $\vec{E}_p$ verwenden. Diese erhält man durch die Formel (2.2.2.3), indem man berücksichtigt, dass die elektrische Feldstärke als Quotient aus Kraft $\vec{F}$ und Zielladung $q_d$ definiert ist. Verwendet man gleichzeitig die Beziehungen $c^2\,\mu_0 = 1/\varepsilon_0$ und (2.2.1.5), so erhält man die elektrische Feldstärke, die auf einen Empfänger mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ zum Zeitpunkt $t$ am Ort $\vec{r}$ wirken würde, wenn der Dipol am Koordinatenursprung ruht und dort mit $\cos(\omega\,t)$ schwingt:
$$\begin{eqnarray}\vec{E}_p(\vec{r},\vec{v},\vec{p},t) & = & \frac{3\,\omega\,c}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\left(\vec{p} - 2\,(\vec{p}\cdot\vec{r})\,\frac{\vec{r}}{r^2}\right)\, \frac{\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^2}{\left(\sqrt{r^2 c^2 - \Vert\vec{r}\times\vec{v}\Vert^2} - \vec{r}\,\vec{v}\right)^2}\, \cdot \\ & & \cos\left(\omega\,t-\omega\,\frac{\sqrt{r^2 c^2 - \Vert\vec{r}\times\vec{v}\Vert^2} - \vec{r}\,\vec{v}}{c^2 - v^2}\right).\end{eqnarray}$$ (2.3.2.7)
Hierbei ist
$$\vec{p} := q_s\,\vec{d}$$ (2.3.2.8)
das elektrische Dipolmoment. Da ein Dipol im Gesamten elektrisch neutral ist, ist $q_s$ in diesem Zusammenhang die gesamte positive Ladungsmenge, die im Dipol enthalten ist. $\vec{d}$ hingegen bestimmt die Schwingungsachse, sowie die maximale Auslenkung der Ladungen bei der Schwingung.

Das elektrische Feld (2.3.2.7) gilt trotz der zahlreichen Näherungen auch für vergleichsweise schnelle Relativgeschwindigkeiten $v < c$ zwischen Dipol und Empfänger (Es wurde nur der Quantinoumkehreffekt vernachlässigt). Für einen ruhenden Empfänger kann die Gleichung allerdings stark vereinfacht werden. Man erhält in diesem Fall
$$\vec{E}_p(\vec{r},\vec{p},t) \approx \frac{3\,\omega}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,c}\,\left(\vec{p} - 2\,(\vec{p}\cdot\vec{r})\,\frac{\vec{r}}{r^2}\right)\, \frac{1}{r^2}\,\cos\left(\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)\right).$$ (2.3.2.9)
Die Abbildung 2.3.2.1 zeigt das elektrische Feld eines ruhenden Dipols. Daneben, in Abbildung 2.3.2.2, ist zum Vergleich das Feld des Dipols dargestellt, wie es sich aus Sicht eines sich mit der Geschwindigkeit $2/3\,c$ nach links bewegenden Empfängers darstellt. Die Pfeile zeigen dabei jeweils in die Richtung der Kraft. Die Stärke der Kraft wird durch die Helligkeit der Hintergrundfarbe angezeigt. An der perfekten Kreisförmigkeit der Wellenzüge fällt sofort auf, dass sich die entstehende laufende Welle unabhängig von der Relativgeschwindigkeit von Quelle und Empfänger mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet (Siehe auch Abschnitt 1.4.2).

Abbildung 2.3.2.1: Das elektrische Feldes eines ruhenden, in x-Richtung ausgerichteten Dipols der Frequenz $10^{15}\,Hz$ aus Sicht eines ebenfalls ruhenden Empfängers zum Zeitpunkt $t=0$. Die Kantenlänge der Zeichenfläche beträgt $2\,10^{-6}\,m $.
Abbildung 2.3.2.2: Momentaufnahme des elektrischen Feldes aus Sicht eines sich mit der Geschwindigkeit $2/3\,c$ nach links bewegenden Empfängers. Die Parameter entsprechen denen der links dargestellten Abbildung.

Weiterhin fällt auf, dass sich die Welle gleichmäßig in alle Raumrichtungen ausbreitet. Dem in der Maxwellschen Elektrodynamik geschulten Leser zeigt das, dass es sich bei dieser Welle noch nicht um das handelt, was man dort als eine elektromagnetische Welle bezeichnen würde. Tatsächlich ist die hier jeweils dargestellte Quantinodruckwelle nur die Primärwelle. Die eigentliche elektromagnetische Welle entsteht erst dadurch, dass durch den pulsierenden Quantinodruck überall im Raum vorhandene Photonen zum Schwingen angeregt werden. Bei diesen Photonen handelt es sich um masselose, nach außen hin neutrale Elementarteilchen, die aber, da sie in ihrem Inneren Ladungen enthalten, in der Lage sind, selbst zu Dipolen zu werden. Das diese Photonen keine Ruhemasse haben, obwohl sich in ihrem Innern Ladung verbirgt, wird in den nachfolgenden Abschnitten klar werden. Für den Moment ist lediglich wichtig, dass diese "Photonen-Dipole" selbst wiederum Quantinodruckwellen erzeugen, die der Primärwelle entgegenwirken.

Es ist eine bereits in Abbildung 2.3.2.1 ablesbare geometrische Eigenschaft des Hertzschen Dipols, dass sich die Primärwelle durch die Sekundärwellen quer zur Schwingungsrichtung aufgrund konstruktiver Interferenz verstärkt, während sie sich in Schwingungsrichtung abschwächt, da die Photonen hier ein destruktives Schwingungsmuster erzeugen. Dieses im Detail zu zeigen ist die Aufgabe des Abschnittes 2.3.3.

Nebenbei bemerkt können statt der Photonen auch andere Elementarteilchen, wie Neutronen oder Protonen als Übertrager für die Quantinowelle dienen. Auch sie enthalten in ihrem Inneren zwei verschiedene Ladungsmengen, die zum Schwingen angeregt werden können. Berücksichtigt man das, so beginnt man zu verstehen, warum sich Photonen und massebehaftete Elementarteilchen so ähnlich verhalten - ein Punkt, der in der Quantenmechanik immer wieder betont, gleichzeitig aber auch als prinzipiell unverstehbar abgetan wird. Auch die Natur des sogenannten Welle-Teilchen-Dualismus wird an dieser Stelle bereits schemenhaft erkennbar: Der Quantinodruck bildet die Welle; die durch sie zum Schwingen angeregten Elementarteilchen binden die Energie des Feldes in lokalisierten Punkten des Raumes und erzeugen so den Eindruck eines quantisierten Feldes.