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2.3 Elektromagnetische Wellen

In diesem Abschnitt werden nun klassische elektromagnetische Wellen untersucht. Das Ziel besteht darin zu zeigen, dass die Vorhersagen der Quantinotheorie mit denen der maxwellschen Theorie übereinstimmt. Wie sich zeigen wird, ist dieses nur dann der Fall, wenn man davon ausgeht, dass sich das Vakuum wie ein Dielektrikum verhält. Warum das so sein muss, und dass auch das aus den Grundannahmen der Quantinotheorie folgt, wird erst in nachfolgenden Kapiteln verständlich werden.

2.3.1 Der Quantinodruck einer schwingenden Ladung

Es wird eine sich am Koordinatenursprung befindende Ladung betrachtet, die mit der Kreisfrequenz $\omega$ schwingt. Ihre Schwingungsachse $\vec{d}$ sei dabei fest aber beliebig. Es wird bei der nachfolgenden Rechnung davon ausgegangen, dass die räumliche Auslenkung der Ladung vom Nullpunkt gering genug ist, um sie vollständig zu vernachlässigen. Mathematisch formuliert soll also gelten
$$\vec{r}_{s}(t) = \vec{d}\,\sin(\omega\,t) \approx 0$$ (2.3.1.1)
für alle $t$. Die zeitveränderliche Geschwindigkeit
$$\vec{v}_{s}(t) = \vec{d}\,\omega\,\cos(\omega\,t)$$ (2.3.1.2)
mit der Maximalgeschwindigkeit $d\,\omega$ soll hingegen nicht vernachlässigt werden. Mit diesen Modelleigenschaften folgt aus den Gleichungen (2.1.11) und (2.1.12)
$$\vec{w}(\tau) := \frac{\vec{r}}{t-\tau} - \vec{d}\,\omega\,\cos(\omega\,\tau)$$ (2.3.1.3)
und
$$\vec{u}(\tau) := \frac{\vec{r}}{t-\tau} - \vec{v},$$ (2.3.1.4)
wobei $\vec{r} := \vec{r}_d(t)$ die Position des Empfängers und $\vec{v} := \dot{\vec{r}}_d(t)$ dessen Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ ist.

Das Einsetzen der Gleichungen (2.3.1.3) und (2.3.1.4) in den Quantinodruck (2.1.15) und Substitution von $t-\tau$ mit $T$ ergibt
$$\begin{eqnarray} \vec{\mathcal{P}}_e & = & \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi}\int\limits_{0}^{\infty} \intfunc_{0}^{c}\left(\left\Vert \frac{\vec{r}}{T} - \vec{v}\right\Vert\right) \,\left\Vert\frac{\vec{r}}{T}-\vec{v}\right\Vert^2\,\cdot \\ & & \frac{\Gamma\left(\frac{\Vert\vec{r}-\vec{d}\,\omega\,\cos(\omega\,(t-T))\,T\Vert}{T}\right)\,\left(\vec{r}-\vec{d}\,\omega\,\cos(\omega\,(t-T))\,T\right)}{T\,\Vert\vec{r}-\vec{d}\,\omega\,\cos(\omega\,(t-T))\,T\Vert^3}\,\d{T}, \end{eqnarray}$$ (2.3.1.5)
sofern man den Quantinoumkehreffekt vernachlässigt, der aber nur für Geschwindigkeiten $\vec{v}$ nahe der Lichtgeschwindigkeit oder bei extrem kurzen Abständen von der Quelle eine Rolle spielt. Im nächsten Schritt kann man sich der Intervallfunktion entledigen, indem man sich überlegt, dass das Argument $\left\Vert \vec{r}/T - \vec{v}\right\Vert$ niemals kleiner Null werden kann und nur dann $c$ überschreitet, wenn eine bestimmte Grenze $T_c$, gegeben durch Formel (2.2.1.5), unterschritten wird. Man kann die Intervallfunktion daher weglassen und stattdessen die untere Grenze des Integrals verändern. Man erhält
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi}\int\limits_{T_c}^{\infty}\,\left\Vert\frac{\vec{r}}{T}-\vec{v}\right\Vert^2\,\frac{\Gamma\left(\frac{\Vert\vec{r}-\vec{d} \omega \cos(\omega\,(t-T))\,T\Vert}{T}\right)\left(\vec{r}-\vec{d} \omega \cos(\omega\,(t-T))\,T\right)}{T\Vert\vec{r}-\vec{d}\omega\cos(\omega\,(t-T))\,T\Vert^3}\d{T}.$$ (2.3.1.6)
Weiterhin ist es auch hier wieder sinnvoll die Emissionsgeschwindigkeitsverteilung durch den Polynomansatz (2.2.1.7) zu ersetzen. Damit folgt
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \Gamma_k\,\int\limits_{T_c}^{\infty}\,\left\Vert\frac{\vec{r}}{T}-\vec{v}\right\Vert^2\,\frac{1}{T^{k+1}}\,\frac{\vec{r}-\vec{d}\,\omega\,\cos(\omega\,(t-T))\,T}{\Vert\vec{r}-\vec{d}\,\omega\,\cos(\omega\,(t-T))\,T\Vert^{3-k}}\,\d{T}.$$ (2.3.1.7)
Eine weitere Vereinfachung ist möglich, wenn man die Tatsache ausnutzt, dass $d$ sehr klein ist. Aufgrund der Voraussetzung (2.3.1.1) führt die Bewegung mit der Geschwindigkeit (2.3.1.2) nicht zu einer nennenswerten Auslenkung. Es ist daher möglich Ausdruck (2.3.1.7) in Bezug auf $d$ an der Stelle Null in eine Taylorreihe zu entwickeln und diese nach dem ersten Glied abzubrechen. Das Ergebnis dieses Schrittes lautet
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma_k}{r^{3-k}}\,\int\limits_{T_c}^{\infty}\,\left\Vert\frac{\vec{r}}{T}-\vec{v}\right\Vert^2\,\frac{1}{T^{k+1}}\,\left(\vec{r} - T\,\cos(\omega\,(t-T))\,\omega\,\vec{\xi}_k\right)\,\d{T}.$$ (2.3.1.8)
mit
$$\vec{\xi}_k = \vec{d} + (k-3)\,\frac{1}{r^2}\,(\vec{r}\cdot\vec{d})\,\vec{r}.$$ (2.3.1.9)

Indem man das Betragsquadrat ausmultipliziert und etwas umstrukturiert gelangt man zu
$$\begin{eqnarray}\vec{\mathcal{P}}_e & = & \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma_k}{r^{3-k}}\,\int\limits_{T_c}^{\infty}\,\vec{r}\,\left(\frac{r^2}{T^{k+3}}-\frac{2\,\vec{r}\,\vec{v}}{T^{k+2}} + \frac{v^2}{T^{k+1}}\right)\,\d{T} - \\ & & \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma_k\,\omega\,\vec{\xi}_k}{r^{3-k}}\,\int\limits_{T_c}^{\infty}\cos(\omega\,(t-T))\,\left(\frac{r^2}{T^{k+2}}-\frac{2\,\vec{r}\,\vec{v}}{T^{k+1}} + \frac{v^2}{T^{k}}\right)\,\d{T}.\end{eqnarray}$$ (2.3.1.10)
Dieses Integral lässt sich schließlich lösen und man erhält
$$\begin{eqnarray}\vec{\mathcal{P}}_e & = & \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma_k}{r^{3-k}}\,\,\vec{r}\,\left(\frac{r^2}{(k+2)\,T_c^{k+2}}-\frac{2\,\vec{r}\,\vec{v}}{(k+1)\,T_c^{k+1}} + \frac{v^2}{k\,T_c^{k}}\right) - \\ & & \frac{a_c\,\mathcal{m}_{pho}}{8\,\pi}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma_k\,\omega\,\vec{\xi}_k}{r^{3-k}}\,\left(r^2\,\mathcal{C}_{k+2}-2\,\vec{r}\,\vec{v}\,\mathcal{C}_{k+1} + v^2\,\mathcal{C}_{k}\right). \end{eqnarray}$$ (2.3.1.11)
Dabei wurde aus Gründen der Lesbarkeit die Abkürzung
$$\begin{eqnarray} \mathcal{C}_k & = & \frac{(-\omega)^{k-1}}{(k-1)!}\,\left(\sum\limits_{i=1}^{k-1}\frac{(i-1)!}{(\omega\,T_c)^{i}}\,\cos\left(\omega\,(t-T_c)+(k+i-1)\,\frac{\pi}{2}\right)- \right. \\ & & \left. \left(\sin\left(\omega\,t+k\,\frac{\pi}{2}\right)\,\mathrm{Ci}\left(\omega\,T_c\right)+\cos\left(\omega\,t+k\frac{\pi}{2}\right)\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{Si}\left(\omega\,T_c\right)\right)\right)\right) \end{eqnarray}$$ (2.3.1.12)
eingeführt, welche lediglich die Lösung des Integrals
$$\mathcal{C}_k = \int\limits_{T_c}^{\infty}\frac{\cos(\omega\,(t-T))}{T^{k}}\,\d{T}$$ (2.3.1.13)
darstellt.