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2.2.5 Die Maxwell-Gleichungen der Magnetostatik

Im Abschnitt 2.2.4 wurde gezeigt, dass das verallgemeinerte Coulombgesetz (2.2.3.10) nicht nur das klassische Coulombgesetz als einen Spezialfall enthält, sondern dass sich mit diesem auch die magnetische Kraft eines unendlich langen geraden Leiters, sowie die magnetische Kraft einer infinitesimal kleinen Leiterschleife korrekt beschreiben lässt. Der letzte Punkt ist dabei von ganz besonderer Bedeutung, da sich aus vielen solcher Leiterschleifen bekanntlich jede beliebig geformte Leiterschleife zusammensetzen lässt (siehe Abbildung 2.2.5.1). Dies wiederum heißt, dass die physikalischen Vorhersagen der Quantinotheorie offenbar mit denen der maxwellschen Elektro- und Magnetostatik übereinstimmen - zumindest im Vakuum.

Abbildung 2.2.5.1: Beliebige Leiterschleifen lassen sich durch unendlich viele unendlich kleine Leiterschleifen zusammensetzen, da sich alle Ströme bis auf die in der äußeren Umrandung kompensieren.
Insbesondere gelten daher auch die beiden Maxwellgleichungen dieses Spezialfalles. Die erste Gleichung
$$\mathrm{div}\vec{B} = 0$$ (2.2.5.1)
besagt, dass die magnetische Induktion $\vec{B}$ keine Quellen besitzt, d.h. ihre Feldlinien sind immer in sich geschlossen und es gibt nirgendwo Orte im Raum, wo sie beginnen oder enden. Mit anderen Worten, so etwas wie magnetische Monopole gibt es nicht. Stattdessen entsteht das Magnetfeld erst durch die Anwesenheit eines geschlossenen Strompfades.

Die zweite Maxwellgleichung
$$\mathrm{rot}\vec{B} = \mu_0\,\vec{j}$$ (2.2.5.2)
beschreibt genau das, indem sie die magnetische Induktion $\vec{B}$ mit dem Strom $\vec{j}$ verbindet. Dabei ist unbedingt zu beachten, dass der Strom immer eine geschlossene Schleife bildet. Sich bewegende Punktladungen sind keine Ströme im Sinne dieses Gesetzes! Es ist dabei natürlich nicht so, dass bewegte Punktladungen, wie Elektronen oder Ionen, keine magnetischen Effekte verursachen würden. Ganz im Gegenteil! Allerdings ist es für punktförmige Objekte äußerst schwierig, wahrscheinlich aber sogar unmöglich, den Ort so von der Geschwindigkeit zu separieren, dass man eine magnetische Induktion definieren kann, wie sie für die Formel der Lorentzkraft (2.2.4.9) benötigt wird. Die Berechnungen rund um die sogenannten Liénard-Wiechert-Potentiale sind daher kritisch zu hinterfragen, da in ihnen ganz am Anfang eine zeitveränderliche, extrem lokalisierte Stromdichte definiert wird. Und obwohl der volle Satz der Maxwell-Gleichungen, also unter Einbeziehung des Verschiebungsstromes, verwendet wird, ist das Ergebnis fragwürdig.

Aber unabhängig davon, ob es möglich ist, eine Punktladung korrekt mit Hilfe von elektrischen und magnetischen Feldern oder Potentialen zu beschreiben oder nicht: es ist in jedem Fall sehr unpraktisch. Der Maxwellsche Formalismus eignet sich hervorragend zur Benutzung in der klassischen Elektrotechnik, da diese nicht mit Ladungen, sondern Strömen arbeitet. Für die Plasmaphysik ist er aber extrem ungeeignet. Es ist sicher nicht falsch zu behaupten, dass die Quantinotheorie hier das bessere Werkzeug darstellt.